DE - DF

donc

ABC AGC AGC “ DEF"

Remarque III. — On peut passer de la mesure du tronc de pyramide triangulaire à celle du tronc de pyramide quelconque de la manière suivante :

480 NOTES Sun LE LIVRE VI. — NOTE 68.

Soit le tronc de pyramide ABCDEnArr/e; menons CF parallèle à la diagonale BD jusqu’à la rencontre en F du côté ED prolongé, et joignons BF. Les triangles BDC, BDF seront équivalents (194).

Ensuite, la droite SF rencontrera le prolongement de ed en /, et, si l’on joint ce point aux sommets c, d , puis que l'on mène la diagonale bd , les droites c/, bd seront parallèles comme étant respectivement parallèles aux droites CF, BD (308) et les triangles bdc , bdj seront aussi équivalents. Ainsi, les (leux troncs de pyramides triangulaires B! >€./*•/<- , WbFbdf ont même hauteur et des bases équivalentes; donc ils sont équivalents.

Donc, le tronc de pyramide proposé et le tronc de pyramide ABFE nbfe sont équivalents, et, de plus, les bases du premier sont respectivement équivalentes à celles du second.

Maintenant, si l'on répète successivement la mémo construction, on pourra transformer un tronc de pyramide quelconque en un tronc de pyramide triangulaire ayant même hauteur que le premier et des bases équivalentes. Or, le tronc de pyramide triangulaire a pour mesure le tiers de sa hauteur, multiplié par la somme de ses bases et d’une movenne proportionnelle entre ces deux bases; donc il en sera de même pour le tronc de pyramide quelconque.

SUR I.A MESURE DU TRONC DE l’RISME TRIANGULAIRE

On peut démontrer la mesure du tronc de prisme triangulaire (435) comme il suit.

Tiiéoréme.

Un tronc île prisme trianj’tdairc ABCDEF a /mur mesure le tiers rie sa base ABC, multiplié par la somme des perpendiculaires b, lé, h ’ abaissées sur cette base des sommets E, D, F de la section DEF.

Menons encore les plans EAC, EDC. Le tronc de prisme sera décom- „p posé en trois pyramides EABC, EADC, EDFC, que nous désignerons par P, P’, P".

La première EABC a pour base ABC et pour sommet le point E; donc on a

P = j ABC x A.

Maintenant, si l’on désigne par e, r/, f les pieds des perpendiculaires A, b', h", les trois triangles rectangles Lite, DA <7, FC/ seront semblables et l'on aura

DA h' FC A*

EU “A ct DA ~ /<*’

ROTES STR l* LIYF.E VI. NOTE Cm). 48*

d’ailleurs, puisque les pyramides CA Bld) et ËACFD ont pour bases des trapèzes, on a aussi (433)

EADC DA EDFC FC ËABC ~ EU 61 EADC ~ DA*

et, par conséquent,

P “ A Pl lv ~ U' '

Ainsi, P' = Px7=: ^ ABC x A* et P* — P’ x ~ ^ ABC x A”; donc,

en représentant par V le volume du tronc de piisme, il vient V = P +■ F' +- P' = i ABC (A + A' 4- A").

Remarque. — U a tronc tle prisme triangulaire ABCDEF n pour mesure sa b ise ABC multipliée pur lu /ler/tentliculaire O o abaissée sur cette base i/u centre de gravité de la section.

Car, en conservant les notations ci-dessus, on a, d’après la Note 61 ,

donc

V = ABC x Oo.

El'R LES FIGURES SYMÉTRIQUE."..

Sur les figures symétriques par rapport à un a ie. Théorème.

Deux figures F, F’, symétriques par rapport à un axe xy (123), sont égales.

En effet, soient A, A' deux points homologues des figures F, F', et faiif sons tourner la figure F autour de xy jusqu’à ce que

chacun de ses points ait décrit un arc de 180 de-

| grés [voir Note 37). Alors les po nls A et A' coïn-

<•; ? cideront, et il en sera de même de tous les autres

points des figures F et F' considérés deux à deux ; i’t donc ces figures sont égales.

Remarque. — Ce théorème comprend ceux qui ont été démontrés aux n* 126 et 127.

NOTE 6o.

Sur les figures symétriques par rapport à un point.

Théorème.

Deux figures F' et F'* symétriques tl'une même figure F par rapport a deux centres différents 0 et 0', sont égales.

En effet, soient A un point quelconque de la figure F et A', A' ses points homologues dans les figures F', F*. La droite A' A' sera parallèle à 00' et double de 00' (117); donc, si l’on transporte la figure F' parallèlement à la direction 00' et d’une quantité égale à aOO\ les deux figures F' et F* coïncideront.

Remarque. — Nous avons dit (116, rem. génér.) qu’en considérant les figures symétriques par rapport à un point, il est facile de démontrer les lemmes et théorèmes vus aux n°* 410, 111,..., 115, et nous avons laissé au lecteur le soin de trouver ces démonstrations.

Pour cela, on peut prendre un point quelconque pour centre de symétrie, comme on a pris un plan de symétrie quelconque. Toutefois, il est bon de remarquer qu’en se fondant sur le théorème ci-dessus, on peut simplifier les démonstrations dont il s'agit par un choix convenable du centre de symétrie. Ainsi :

i° Pour démontrer que la figure symétrique d’une droite xy est une ligne droite, que la distance AB de deux points A cl B est égale à celle de leurs symétriques, que l’angle BAC de deux droites est égal à relui de leurs symétriques, qu’«/i plan ABC a pour figure symétrique un /dan, que l’angle dièilre formé par deux plans ABC, BCD est égal à l'angle forme par leurs symétriques, on pourra prendre successivement, pour centre de symétrie : un point situé sur xy, le milieu de AB, le sommet de l'angle BAC, un point du plan ABC, un point de l'arète de l’angle dièdre ABCD.

2° Pour démontrer que dans deux polyèdres symétriques P et P' les angles solides homologues A et A', B et B', . . . sont symétriques, il suffira de construire le polyèdre symétrique de P, en prenant successivement, pour centre de symétrie, le sommet A, le sommet B, . . . .

3° Pour démontrer qu’u/i tétraèdre SABC est équivalent à son symétrique, on construira ce dernier en prenant le sommet S pour centre de symétrie. Les triangles symétriques ABC, A'B’C’ seront égaux, et, de plus, il sera facile d’établir que leurs plans seront équidistants du sommet S; d’où il résultera que les tétraèdres SABC, SA'B'C' sont équivalents.

Sur tes figures symétriques par rapjiort à un plan et sur les figures symétriques par rapport à un point.

Théorème I.

Lorsque deux figures F, F' sont symétriques par rapport a un plan MX, si l’une île ces figures, F' pur exemple, tourne de 1 8o degrés autour d 'un axe xy perpendiculaire à MN, elle sera, dans sa nouvelle position, symé-

trique de ta figure F par rapport au qtoinl d’intersection O de l'axe acre le plan.

Et réciproquement : Si deux figures F, F* sont symétriques par rap/mrt à un point 0 et qu’on fasse tourner la figure F' de 1 80 degrés autour d'un a re xOy, cette figure sera, dans sa nouvelle position, symétrique de ta figure F par rap/wrt au plan MN jserpcndiculairc à xy au point 0.

Soient A, A' doux points homologues des figures F, F', a le milieu de AA', A' le point symétriquo de A' par rapport à l’axe xy, et a' le milieu de A' A*. Je dis d'abord que A” est le qminl symétrique de A par rapport au point 0.

En effet, les triangles rectangles AO a, OA'o* sont égaux, comme ayant les cétés de l’angle droit égaux chacun à chacun, ot de là résulte l’égalité des angles AO a, OA* a', puis celle de leuis compléments AOx, A*0n'; donc OA’ est le prolongement de OA (59), et, comme OA = OA", il s’ensuit que A* est le point symétrique de A par rapport au point 0.

Maintenant, supposons que la figure F' tourne autour do xy jusqu'à ce que chacun de ses points ait décrit un arc de 180 degrés; le point A’ se placera en A* et deviendra le symétrique de son homologue A par rapport au point 0. Or, il en sera de même de tous les points do la figure F'; donc celte figure sera, dans sa nouvelle position, symétrique de la figure F par rapport au point 0.

Réciproquement : Soient A, A* deux points homologues des figures F, F*, symétriques par rapport au point 0, A' le point symétrique de A' par rapport à l’axe xOjr, a' le milieu de A' A', et menons la droite AA' qui coupe on a le plan MN passant par le point 0 et perpendiculaire à xy. Je d is d’abord que les points A, A' sont symétriques par rapport au plan MN.

En effet, les points 0 et a' étant les milieux de AA" et de A"A', la droite AA' est parallèle à 0 a', et, par conséquent, perpendiculaire au plan MN; d’ailleurs, la droite 0 a, perpendiculaire à xr, est parallèle à a' K', et, comme le point 0 est le milieu de AA', le point a est aussi lo milieu de AA'. Donc les points A et A' sont symétriques par rapport au plan MN.

Maintenant, supposons que la figure F* tourne autour de xy jusqu’à ce que chàcun de ses points ail décrit un arc de 180 degrés; le point A* se placera sur A' et deviendra le symétrique de son homologue A par rapport au plan MN. Or, il en sera de même de tous les points de la figure F*; donc cette figure sera, dans sa nouvelle position, symétrique de la figure F par rapport au plan MN.

Remarque. — Au moyen de ce théorème et du précédent, il est facile de démontrer le corollaire I du n° 4 Ai. Car, si P' et P* sont deux polyèdres symétriques du polyèdre P, construits par rapport à des plans de symétrie différents, on peut placer ces deux polyèdres de manière qu’ils soient symétriques de P par rapport à deux centres 0 et 0'; donc les polyèdres P' et P* sont égaux.

484 ROTES SLR LE I.IÏRE VI. — NOTE 6g.

Théorème II.

Si rieux points A et A' et deux plans PQ et PQ’ sont symétriques par rapport à un même plan MN, les deux /mints sont respectivement à ta même distance des deux plans.

En effet, abaissons sur le plan PQ la perpendiculaire AO et menons la droite A'O' symétrique de AO.

Le point 0' où la droite A'O' rencontre le plan PQ' est le symétrique du point O; donc AO = A'O', et il ne reste plus qu’à démontrer que A'O' est perpendiculaire sur le plan PQ'.

Or, si du point 0' on mène dans le plan PQ' une droite quelconque O' B', sa symétrique OB sera située dans le plan PQ et l’anglo A'O’B’ sera égal à l’angle AOB qui est droit. Donc la droite A'O' est perpendiculaire à une droite quelconque menée par son pied dans le plan PQ', et par conséquent elle est perpendiculaire à ce plan.

Remarque T. — La démonstration ne changerait pas si les deux points et les deux plans étaient symétriques par rapporta un mémo point.

Remarque II. — D’après co théorème, on peut démontrer que deux tétraèdres symétriques sont équivalents sans être obligé de prendre pour plan de symétrie ou pourbenlre de symétrie la base ou le sommet de l’un des tétraèdres, et, par suite, que deux polyèdres symétriques sont équivalents.

Théorème III.

Le plan BDHF, qui /Misse par deux arêtes opposées BF, DH d'un parai, lélipipède AG, divise ce parallélipipèdc en deux prismes triangulaires symétriques.

En effet, supposons qu’on prenne, par exemple, le plan ABD pour plan do symétrie et que l’on construise le prisme ABDE'F’ll' symétrique du prisme ABDEFll. Les faces ABP'E', ADIl'E' seront respectivement égales aux faces homologues ABFE. ADHE ( 4 U ), et par suite aux faces oppo.-ées GHDC, GFBC (412); d’ailleurs, le triangle ABD est égal au triangle GUF ; donc, dans les deux prismes ABDE'F'H', GHFCDB, les angles trièdres GCKII, AE'BD sont compris sous trois faces égales chacune à chacune, et, de plus, ces faces sont semblablement disposées; donc (voir la Note 62 ) ces deux prismes sont égaux.

0r» le Prisme ABDE’F'H' est le symétrique du

prisme ABDEMI; donc il en est do même du prisme GHFCDB.

Remarque. — On peut démontrer ce théorème très-simplement. Car les diagonales du parallélipipède AG se coupant mutuellement en parties

égales ( voir Note 113), il s’ensuit immédiatement que les deux prismes ABDEFH el GHFCDB sont symétriques par rapport au point d'intersection de ces diagonales.