BCD BC
bat ~ y ‘
AB
Ab‘
et, comme le plan bal est parallèlo à BCD, on aura aussi (414)
AO = AB A o Ab
AB ~ Ab'
Mullipl'ant les égalités (i) et (a) l’une par l’autro, et remarquant quo les produits BCD x - AO et bat x ^ A o sont resi>eetivement les mesures des deux tétraèdres, il vient
Abat
Yb
1° Soient les tétraèdres semblables ABCD. A bat, qui ont encore l'anglo trièdre A commun. D’abord, leurs faces étant semblables, on a
ACD Âô’ ÂB'
1 1 A al
Ab ’’
ensuite, si l’on projette sur le plan ACD les sommets B, b en B’, b', les triangles rectangles semblables ABB', AbU donnent
ou
BB’ bb' z
AB
Ab
Multipliant entre elles les'égalités (i) et (a), et remarquant que les produits ACD x ^ BB’ et Aat x ^ bb’ sont les mesures des deux tétraè dres, il vient
ABCD AB
Abat
3" Soient les tétraèdres semblables ABCD, abcd, et AO, ao leurs hau-
teurs. Ces tétraèdres sont entre eux comme leurs mesures; donc
abcd
BCD x 3 AO BCD AQ
bcd x - au
bcd X nu ’
de plus, à cause de la similitude des faces des deux tétraèdres, on a BCD Bc’ AB’
bc‘l ' bc ’ ri*
D'ailleurs, si l’on abaisse OE perpendiculaire à BC, oc perpendiculaire à bc, et que l'on mène les droites AE, ne, ces droites seront aussi respectivement perpendiculaires à BC et à bc, en vertu du théorème des trois perpendiculaires (337) ; d'où il résulte que les angles AEO, nco mesurent les angles dièdres BC, bc, et que, par suite, ils sont égaux. Donc les triangles rectangles AOE, aoc sont semblables, et, comme les triangles ABE, abc le sont aussi, on a (a) AO AE AB
’ ' no ne ab
Multipliant l'égalité (i) par l'égalité (a), il vient
BCD AO AB\ bcd X ao - -b‘ ’
donc on a aussi
ABCD ÂB^ abcd ‘ ~b‘ *
