DES CENTRES DE SIMILITUDE DE DEUX POLYÈDRES

Deux points rapportés à deux polyèdres semblables sont dits homologues, lorsqu'cn les joignant respectivement à trois sommets homologues de ces polyèdres, pris dans deux faces semblables, on détermine des lé-

traèdres semblables et semblablement disposas par rapport aux deux lolyédres. Ainsi, en vertu du 110 453, les sommets homologues de deux polyèdres semblables (447) sont des /joints homologues.

Deux droites sont dites homologues, lorsque leurs extrémités sont respectivement des |K)ints homologues. Ainsi, les arêtes et les diagonales homologues de deux polyèdres semblables (447) sont des droites homologues.

Tuéorèxie.

Lorsque deux polyèdres P, p sont semblables, si l’on joint les sommets du premier à un /joint quelconque 0 et les sommets du second au point homologue o , les tétraèdres ayant /mur sommets ces deux /joints et pour bases les triangles qui com/joscnt les surfaces des deux polyèdres seront semblables chacun à chacun.

Soient aBCD, BCEF, ... les faces du polyèdre P el abcd, bcef, . . . celles

du polyèdre p, el supposons que les points homologues O, o aient été déterminés en construisant les tétraèdres semblables OABD, oubtl.

A cause de la similitude de ces tétraèdres, les angles diedres OBDA, obtla sont égaux, et, par conséquent, leurs suppléments OBDC, obdc le sont pareillement ; d'ailleurs, en vertu de la similitude des mômes tétraèdres et de celle des polvedres P, /j, les triangles OBD, lÎDC sont respectivement semblables aux triangles obd, bdc\ donc les tétraèdres OBDC, obdc sont semblables.

De là il résulte que les angles dièdres OBCD, obed sont égaux, et, comme les angles diedres homologues ABCF, abcf des polyèdres P, p Te sont aussi, il s’ensuit que l’excès de ABCF sur OBCD ou le dièdre OBCF est égal à l’excès de abcf sur obed ou au dièdre obcj'\ de plus, les triangles OBC, BCF sont semblables aux triangles obe, bel chacun à chacun ; donc les tétraèdres OBCF, obef sont semblables.

On peut continuer ainsi, quel que soit le nombre des tétraèdres ; donc le théorème eat démontré.

Reman/uc 1. — Au n” 434 on a démontré que deux /jolyèdres semblables peuvent se décomposer en un même nombre de tétraèitres semblables dutcun à chacun et semblablement dis/josés, et, pour cela, de deux sommet- homologues on a mené des diagonales aux sommets des angles opposés ; mais, d après le théorème ci-dessus, on aurait pu joindre h-s sommets des deux polyèdres à deux points homologues quelconques O, o pris dans l'intérieur de ees polyèdres.

Remarque II. — En supposant (pie les tétraèdres OABD, OBDC, . . . soient resjiertivement gemhlab es aux tétraèdres mdjit. ob/lr, . . . . et en raisonnant comme on l’a fait au n” 453, on démontrerait facilement que les deux polyèdres P, p sont semblables.

HOTES son LE LITRE Tl. — HOTE 7a.

Définitions. — Deux points homologues, tels que O et o, sont appelés quelquefois centres rie similitude des polyèdres P et />■ Alors les droites OA, ÜB, . . . et oa, ob,. . . se nomment rayons vecteurs ou rayons de simili tuile.

Remarque III. — Les droites OA, OB, . . . sont proportionnelles aux droites oa, ob,..., et les angles triédres OABD, OBDC,... sont respectivement égaux aux angles triédres oabtl, obde. De plus, chacun des rapports 1 est égal au rapport de similitude ^ (434, rem. 11).

Remarque IF. — Si deux polyèdres P, p sont semblables , on peut les placer de telle sorte qu'en menant par un même point des rayons vecteurs à tous les sommets de V un des polyèdres, ees rayons / tassent par les sommets de r autre, et que les rayons vecteurs dirigés suivant les mêmes droites soient /iro/jortionnels.

En eflet, soient les deux points homologues 0, o , et les rayons vecteurs OA, OB, ..., et oa, ob,.... Si l'on porte le second polyèdre sur le premier, de manière que l’angle trièdre oabd coïncide avec son égal OABD, l'angle trièdre obed coïncidera aussi avec OBCD, et ainsi de suite; donc déjà les sommets a, b, d,.. . seront placés sur les rayons OA, OB, OD, . . . , en a', b', d',.... De plus, on aura

OA OB OD OC Oa' ~ 06' ~ Oit ~ Oc' ’

donc la proposition est démontrée.

On voit que le côté a' b' est parallèle à AB , que b'c' est parallèle à BC,

Rcmarr/uc F. — Si d’un /mint quelconque 0 on mène aux sommets d’un polyèdre P les droites OA, OB, OD,..., et qu’on prenne sur ces droites les /joints a', b', d',. . ., tels quon ait

OA OB = or^ oc = .

Oa' ~ 06' “ Od' ~ Oc' ’

les polyèdres P et a'b'c'ite'f'. . . ou p’, qui sont homothétiques directs (voir Note 31, théor. III, rem, IV), seront semblables.

Car les tétraèdres OABD, Oa'6'r/’sont semblables (418, rem. II); donc les triangles ABD, a'b'd' sont semblables : de même, le triangle BCD est semblable à b'c'if, etc.

Donc déjà les surfaces des deux polyi-dres P, p’ sont com/msccs tüun même nombre de triangles semblables chacun à chacun et semblablement placés.

De là on conclurait, comme on l’a fait dans le texte au n” 45G, que les faces des deux /jolyèdres sont respectivement semblables, et que les angles solides homologues B et b', par exemple, sont égaux.

Donc les polyèdres P et p' sont semblables.

Reman/uc FI. — Si ton prend sur les prolongements des droites

AO, BO, . . . , les distances 0«", 04”, ... , de manière r/u'on ait