SON PLAN

Théorème.

Le volume engendré par le triangle ABC tournant autour <r un ajee extérieur xy, situé dans son plan, a /mur mesure In surface de ce triangle, multipliée par la circonférence <ptc décrit le centre de gravité de celte surface.

Soit O le centre de gravité du triangle et désignons par a, b, r, g les

perpendiculaires AA’, BB', CC\ 00’, abaissées sur .rr, par m, n, les pro-

jections A'B', A'C' des côtés AB, AC. On aura (490) vol. ABB'A' i^= ^ kiii («* + b' ab) , vol. ACC'A' = ^ r.n (.v1 4- r’ 4- oc J | vol. BCC'B' = ^ it (m 4- n ) [b' 4- c’ -4- bc)

= i khi (b1 4- cJ 4- bc) 4-^7r« [b* 4- c* + bc).

Mais

vol. ABC = vol. ABB'A' 4- vol. ACC'A' - vol. BCC'B’;

donc

vol. ABC = ^ ir m (n5 — c’ + ab — bc) 4- i ît/j («’ — b' 4- ne — bc)

d’ailleurs - ( a 4- ô 4- r ) = g ( voir Note 61 , Sur les pmp. div. ) , et , par conséquent,

vol. ABC = vg [/« (a — c) + n [a — i)].

Maintenant, le triangle ABC = ABB'A' 4- ACC'A' — BCC'B'; donc (191) ABC = i/« (a 4- b) 4-^« («4- c) — ^ («4 n) (i4-c)

= -m (« — c) +-« (fl — b).

Donc

vol. ABC = >r g x aABC = ABC x a Kg.

Remarque I. — Ce théorème n’est qu’un cas très- particulier d’une proposition générale , connue sous le nom de théorème de Guidât, dont la démonstration ne saurait trouver place dans ces Cléments et qui s’énonce ainsi :

La surface engendrée par une ligne plane tournant autour d'un axe extérieur quelconque , situé dans son plan , a pour mesure la ligne génératrice, multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de cette ligne ; et le volume engendré /utr une surface plane tournant autour d’un axe extérieur quelconque, situé dans son plan, « /tour mesure la surface génératrice, multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de celte surface.

Remarque II. — Dans un polygone régulier d’un nombro pair de côtés, le centre de gravité du périmètre et celui de la surfare ne sont autres que le centre tle figure(voir Note 47), et il sera facile de vérifier les deux parties du théorème de Guldin, en cherchant, par exemple :

I” La surface engendrée par te périmètre d’un carré et te vota me engendré par sa surface, lorsqu'on fait tourner le carré autour d'un axe mené par l’un de ses sommets perpendiculairement à la diagonale qui aboutit à ce sommet (en supposant qu’on connaisse le côté a du carré ) ;

a“ Im surface engendrée par le contour d'un hexagone rt:gulicr et le volume engendré par sa surface, lorsque l’hexagone tourne autour de t'un de scs côtés (en supposant que a soit le côté de l'hexagone).