CALCULS RELATIFS AUX POLYÈDRES RÉGULIERS

Problème I.

Connaissant le côté a d'un / mlyèdre régulier, trouver le rayon R de la sphère circonscrite à ce / tolyèdre et le rayon rdc la sphère inscrite.

Tétraèdre. — D’abord le tétraèdre ABCD a pour mesure le tiers du , produit de l’une quelconque de ses faces par la hau-

teur correspondante, et, comme ses quatre faces sont égales, il en est de mémo des quatre hauteurs.

D'ailleurs, les hauteurs AF et DG, joignant les sommets A et D aux centres de gravité F et G des faces opposées, se coupent en un même point O. dont la dislance à chaque sommet du tétraèdre est les trois quarts de l’une des hauteurs, et dont la distance à chaque face est le quart de cette même hauteur ( voir ; donc ce point est le centre commun do la sphère circonscrite rt de la sphère inscrite au tétraèdre (506).

Maintenant, le triangle rectangle AFD donne

Note 63, théor. III )

AF