UO = OE — EO
a lÆ
Dodécaèdre. — Soient AB, AC, AD trois an' tes du dodécaèdre, issues d’un même sommet A ( 483) , et menons les droites BC, CD, DB qui seront chacune une diagonale des pentagones égaux BAC-.., CAD..., DAB.... La pyramide ABCD sera régulière (407) et sa hauteur AF passera par le centre commun 0 de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite au dodécaèdre, comme étant le lieu des points également distants des points B, C, D (323); de plus, si du centre 0 l’on abaisse sur l'apothème AE do la pyramide la perpendiculaire OG, les droites OA, OG seront les rayons R et r qu’il s’agit de déterminer (508).
Cela posé, désignons par R' le rayon du pentagone BAC. . ., par f, g les apothèmes AE, FE de la pyramide ABCD et du triangle équilatéral BCD. On aura, à cause du triangle rectangle AGO et des triangles semblables AGO, AFE,
— * — » — » AO AE
AO - OG = AG et ~ = ££
(JG h h
on
R’ — r1 = R,J et 5 = L.
Mais ( voir Note 48)
1 , VIO— 2.\S
^ io — a \/5 ’
donc on a les deux équations
? = t/i5-oV5;
d'où l’on tire .. R
«(y'TTÎ+v^) t r z « .Ai + 11 v'\ 4 ï V 10
Icosaèdre. — Soient AB, AC, AD, AE, AF cinq arêtes do l’icosaèdre, r issues d'un même sommet A, qui sont en même temps
les arêtes de la pyramide régulière ABCDEF ( 461). La hauteur AG de celte pyramide passera par le centre commun O de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite à l’icosaèdre, et, si l'on abaisse sur l'apothème AH de la pyramide la perpendiculaire OK, les droites OA, OK seront les rayons cherchés R, r (506).
Maintenant, désignons par R’ le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC; par /, g les apothèmes AH, GH do la pyramide ABCDEF et du pentagone BCDEF. A cause du triangle rectangle AKO et des triangles semblables AKO, AGH, un aura
Mais
et - = — • r g
donc on a les deux équations
- = v'iâ — C/5,
d’où l’on lire
et a
a \f 3 (3 -+- yfh)
Heiiiarr/ue. — Pour le tétraèdre le rapport - = 3 ; pour l'hexaèdre et l'octaèdre ^ = y^3; pour le dodécaèdre et l'icosaèdre on a
5 =Vf i5-6y/3.
Problème II.
Connaissant le rayon R <l'unc sphère, trouver te côté a d'un /r>/\ ètlrr régulier inscrit et te rayon r de la sphère inscrite dans ce imlyètlrr.
Des formules qui donnent R en fonction de a on tirera les. valeurs de a et l'on portera ces valeurs doits les formules correspondantes qui donneront
les valeurs de r. On trouvera : .
Tétraèdre n = ^ R y/tî, r =• 1 R.
Hexaèdre n = | R y/3, r 5 R y/3.
Octaèdre a^Ry/â, r i R y/3.
Dodécaèdre a = ^R (\/T5 — y/3), r = R .
Icosaèdre a = aR y/ - — ~~~i r = R y/ /— ' - .
Reniart/ue I. — Si l'hexaèdre et l’octaèdre réguliers sont inscrits dans
une même sphère R, ils peuvent au.-si être circonscrits à une même sphère, ce qui est conforme à la remai que faite sur le théorème I. 11 en est de même du dodécaèdre et de l’irosaedre réguliers.
Rnnaryue II. — Au moyen des valeurs de a et de r trouvées ci-dessus et en se fondant sur la Note 48 et sur le n“ 505, on peut calculer la surface S et le volume V de chacun des cinq polyèdres réguliers en fonction du rayon R de la sphère circonscrite. On trouve
Tétraèdre S = | R2 /3 , V = RJ y/3.
Hexaèdre S = 8R% V = - Rs y/3.
Octaèdre S = 4RS V^3» V = | R2.
Dodécaèdre S — aR2 1/10 (5 — y/5), V = ~ Rs y/Ts (y/5 +1).
Icosaèdre S = aR’y/3 (5 — y/5) , Y = | R: t'io 4- a y/5.
SLR LE TRIANGLE TOURNANT AUTOUR ü’uN AXE MENÉ DANS SON PLAN ET PAR l’üN DE SES SOMMETS.
Soient le triangle ABC, qui tourne autour de l’axe -rA y, et AD sa bau- „ leur. On a trouvé (517)
•nD
vol. ABC = surf. BC x ^ AD ,
et l’on peut faire sur celte formule différentes remarques.
Jiemnrr/uc /. — Menons la médiane AE, puis abaissons du
point E et 3a
4ç)8 NOTES SUR LE LIVRE VH. — NOTE 79.
du centre de gravité O du triangle les perpendiculaires EE', 00' sur x/. On aura (-185)
vol. ABC = BC x arEE' x ^ AD
■ - = ABCx|sEE'
= ABC x a 7r 00',
et l’on retombe ainsi sur le théorème de Guldin, appliqué au triangle ABC tournant autour de xy[voir Note 70).
Remarque II. — Supposons que le triangle ABC resto invariable et qu’il se meuve dans son plan, en tournant autour de son sommet A, le volume engendré par le triangle tournant autour do xy dans cliacuno Ce ses positions sera variable, et l’on peut se demander dans quel cas ce volume sera maximum ou minimum.
Or, d’après les expressions précédentes de vol. ABC, i° on voit immédiatement que le volume engendré par ABC sera le plus grand possible, lorsque la perpendiculaire EE' sera la plus grande possible, c'est-à-dire lorsque la médiane AE sera perpendiculaire à xy\ a° il est facile de démontrer qu’il sera le plus petit possible, lorsque le plus grand des deux côtés AB, AC, coïncidera avec l’axe xy.
Remarque III. — Lorsque AB = AC , la médiane AE est perpendiculaire sur BC, et l’on a (512)
surf. BC = B C' x ar AE;
donc
, vol. ABC = B'C' x a wAE x ^ AE = | rAE x B'C'.
REMARQUES SUR LA MESURE IJE l’aNNEAU SPHÉRIQUE BT SUR
