TRIANGLES

En effet, puisque AB = EF, on peut porter DEF sur ABC de manière que le point E tombe au point B, et le point F au pointC ; alors, comme le côté ED— BA et que FD = CA, le point D doit tomber à la fois sur les deux circonférences décrites des points B et C comme centres, avec les rayons BA et CA ; or ces circonférences n’ont que le point A commun, d’un môme côté de la droite BC qui passe par les deux centres (34); donc le point D tombera au point A, et par conséquent les triangles ABC, DEF sont égaux.

Remarque. — Lorsque deux triangles sont égaux, aux angles égaux sont opposés des côtés égaux, et aux côtés égaux sont opposés des angles égaux.

Thêorèüe VII.

96. Dans un triangle isocèle ABC, les angles B, C, opposés aux côtés égaux AC, AB, sont égaux.

Car, si on joint le sommet A au point D, milieu du côté BC, les deux triangles AI)B, ADC, sont égaux, comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun ; donc B = C.

Corollaire 1. — De l’égalité des mêmes triangles on conclut l’égalité des angles ADB, ADC, et celle des angles BAD, DAC. Donc la droite qui joint le sommet d’un triangle isocèle au milieu de sa base est perpendiculaire à cette base, et elle divise l’angle du sommet en deux parties égales.

Corollaire II. — Tout triangle équilatéral ABC est en même temps équiangte. Car, de ce que AB= AC, on a C = B ; et de ce que AB = BC, on a C = A ; donc

Donc chaque angle d'un triangle équilatéral est égal au tiers de deux droits ou aux -■ d’un droit.

Thêorèxe VIII.

97. Si dans un triangle ABC deux côtés AB, AC, sont inégaux, au plus grand côté AB est opposé le plus grand angle C.

Prenons AD égal à AC et menons la droite DC ; le tviangle ADC sera isocèle, donc les angles ACD, ADC sont égaux.

Mais l’angle total C est plus grand que sa partie ACD, et d’ailleurs l’angle intérieur B du triangle 1)BC est

44 GÉOMÉTRIE Pl-AJiE. LIVRE I.

pluspctitquel’angle extérieur ADC (91); donc on a

Corollaire I. — Si dans an triangle deux angles sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont aussi égaux. Car si ces côtes étaient inégaux, les angles opposés le seraient pareillement.

Corollaire II. — De même, si dans un triangle deux angles sont inégaux, au plus grand angle est opposé le plus grand côté.

Au lieu de déduire ces deux réciproques des théor. VII et VIII, il est facile de les démontrer directement, comme nous allons le voir.

, Théorème IX.

98. Si dans un triangle ABC deux angles B, C, sont égaux, les côtés opposés le sont pareillement, et par conséquent le

triangle est isocèle.

Pour le démontrer, je mène la bissectrice AD de l’angle A', qui rencontre BC au point D; alors dans les triangles ABD, ADC, les angles B, C, sont égaux, ainsi que les angles DAB, DAC ; donc le troisième angle du premier triangle est égal au troisième angle du second. Ainsi les deux triangles ABD, ADC, ont un côté commun adjacent à deux angles égaux chacun à chacun; donc ils sont égaux, donc AB = AC.

Corollaire. — Tout triangle èquiangle est aussi équilatéral.

Théorème X.

99. Si dans un triangle ABC deux angles B, C, sont inégaux, au plus grand angle C est opposé, le plus grand côté AB.

Faisons l’angle BCD égal à l’angle B ; le triangle DBC sera isocèle ; donc

DB - DC

Maintenant le triangle ADC donne AD -4- DC > AC, et, si on remplace DC par son égal DB, il vient AD + DB > AC ou AB>AC.

Remarque. — On pourrait aussi démontrer d’abord les théor. IX et X, puis en déduire les théor. VII et VIII.