BC = AD, AB = DC, B = D
d’ailleurs l’angle total A et l’angle total B, se composant de deux parties respectivement égales, sont égaux.
Donc la proposition est démontrée.
Corollaire /. — Deux parallèles AD, BC, comprises entre deux autres parallèles AB, DC, sont égales.
Corollaire II. — Deux parallèles AB, CD, sont partout êga- K E G B lement distantes.
• Car les deux droites EF, G1I, perpendi-
culaires à la fois aux droites AB, CD (83),
ër D sont parallèles; donc elles sont égales,
comme parallèles comprises entre parallèles.
Remarque. — Les trois théorèmes suivants sont des réciproques de celui qu’on vient de démontrer.
Théorème III.
103. Un quadrilatère ABCD, dont les côtés opposés sont égaux, est un parallélogramme.
Car la diagonale AC divise le quadrilatère en deux triangles qui sont égaux, comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun ; donc l’angle BAC = DCA : or ces deux angles sont alternes-internes par rapport aux droites AB, DC, coupées par la transversale AC; donc AB est parallèle à DC. Un verrait de même que BC est parallèle à AD.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Théorème IV. >
104. Un quadrilatère ADCD, dont les angles opposés sont égaux, est un parallélogramme.
Car la somme des angles de ce quadrilatère est égale à quatre droits, et, comme les angles A, D sont respectivement égaux aux angles C, B, il s’ensuit que les angles A et D sont supplémentaires : mais ces angles sont internes d’un même côté, par rapport aux droites AB, DC,
QUADRILATERES. )']
coupées par la transversale AD ; donc AB est parallèle à ÜC. Un verrait de même que AD est parallèle à BC.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Théorème V.
105. Un quadrilatère ABCD, dont deux côtés opposés AB, DC sont à la fois égaux et parallèles, est un parallélogramme.
Car la diagonale AC fait avec les parallèles AB, DC des angles A alternes-internes BAC, DCA qui sont égaux.
’ 7 Ainsi les triangles ABC, CDA sont égaux,
/ ' N / comme ayant un angle égal compris entre
t 2 J deux côtés égaux chacun à chacun; donc
l’angle DAC = BCA, et par suite les côtés AD, BC, sont parallèles.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Remarque. — Pour reconnaître si deux droites AB, DC, sont parallèles, on prendra sur ces droites les distances égales AB, DC, et si les distances AD, BC sont aussi égéles, AB sera parallèle à DC (103). Dans le cas contraire, les droites AB, DC ne seront pas parallèles; car, si elles l’étaient, le quadrilatère ABCD serait un parallélogramme et on aurait AD = BC, ce qui serait contre l’hypothèse.
Théorème VI.
106. Les diagonales AC, DB, d'un parallélogramme ABCD se coupent mutuellement en deux parties égales.
Car le côté AB = DC, et de plus les angles
Acr — alternes-imernes BAO, DCO sont égaux,
/ / ainsi que les angles alternes-internes ABO,
CDO ; donc les triangles OAB , OCD sont D égaux, comme ayant un côté égal adjacent
à deux angles égaux chacun à chacun, et par suite on a
OB = OD
