BC <C BG + GC , DE<DH-+- HE

EF FA < EK. -h KL LA ;

plus petite que G1JKL.

et, par suite, la ligne brisée ABCDEF est

Théorème II.

113. La somme des angles d'un polygone convexe ABCDEF est égale à autant de fois deux droits qu'il y a d'unités dans le nombre des côtés, moins deux.

En effet, si du sommet A on mène des diagonales à tous les sommets des angles opposés, on décomposera le polygone en autant de triangles qu’il y a de côtés, moins deux; car ces triangles peuvent être regardés comme ayant pour sommet commun le point A et pour bases les différents côtés du polygone, qui ne comprennent pas l’angle A. De plus, la somme des angles de tous ces triangles esl évidemment la même que celle des angles du polygone; donc cette dernière somme esl égale à autant de fois deux droits qu’il y a de triangles, ou qu’il y a d’unités dans le nombre des côtés, diminué de deux.

Remarque I. — Si l'on représente par n le nombre des côtés du polygone, ce nombre des côtés, moins deux, sera n — 2 et la somme des angles sera exprimée par

ou 2 n — 4,

c’est-à-dire 2 n droits — 4 droits.

Ainsi, la somme des angles d’un pentagone est égale à 6 droits; celle des angles d’un hexagone, à 8 droits; etc.

Remarque II. — Si l’on prolonge dans le même sens tous les côtés d'un polygone ABCDE, la somme des angles extérieurs FBC, GCD, etc., est égale à 4 droits.

Car l’un quelconque des angles intérieurs et l’angle extérieur adjacent valent ensemble 2 droits; donc la somme de tous les angles tant intérieurs qu’extérieurs est égale à autant de fois 2 droits qu’il y a de côtés dans le polygone. Mais la somme des angles inté-

PROPOSITIONS DIVERSES. 5l

rieurs contient autant de fois 2 droits qu'il y a de côtes dai s le polygone, moins 4 droits; donc la somme des angles extérieurs est égale à 4 droits.

Sur la bissectrice d'un angle. — Sur les angles qui ont leurs côtés respectivement parallèles ou perpendiculaires, etc

TuêorRhe I.

114. Si une droite BD divise un angle ABC en deux parties égales,

1" Tout point de la bissectrice est également distant des deux côtés de l'angle ;

i° Tout point, pris hors de la bissectrice et dans l'intérieur de l’angle, est inégalement distant de ces mêmes côtés.

i° Soit le point E pris sur BD; je dis que la droite EF perpendiculaire sur BC est égale à EG perpendiculaire sur BA.

Car les deux triangles rectangles BFE, BGE, ont l'hypoténuse BE commune et les angles aigus EBF, EBG, égaux par hypothèse; donc EF = EG.

* c 20 Soit le point H, situé hors de la bissectrice; je dis que la droite H K perpendiculaire à BA est plus petite que UF perpendiculaire à BC.

Car la perpendiculaire HK est plus petite que l'oblique IIG et la droite IIG est plus courte que la ligne brisée IIE-t- EG; d’ailleurs EG = EF, donc la droite IIG est plus petite que UE -1- EF ou HF. Ainsi d’une part on a

HK < HG,

et de l’autre HG < HF ;

donc on aura, à plus forte raison,