ABC = DEF = D'EF

Corollaire II. — Deux angles ABC, DEF', qui ont deux côtés BA, ED, parallèles et dirigés dans le même sens, et leurs deux autres côtés BC, EF', parallèles et dirigés en sens contraires, sont supplémentaires. Car l’angle ABC est égal à DEF, qui est le supplément de DEF'.

De même les deux angles ABC, D'EF. sont supplémentaires.

Corollaire III. — Ainsi, deux angles, qui ont leurs côtés parallèles chacun à chacun, sont égaux ou supplémentaires.

Observation. — On peut démontrer ce théorème en menant la droite indéfinie rBE > ; alors les angles AB y, CB >• sont respectivement égaux aux angles DE y, PE r, et l'on a

AB.r-CB.) = DE) -FE) ou ABC - DEF.

Si le sommet E était dans l'intérieur de l’angle ABC l'on aurait

ABr + CB > - DE >- 4- FE.r ou ABC = DEF.

Théorème III.

116. Si, du sommet B d'un angle ABC, on élève sur chaque côté une perpendiculaire faisant avec l'autre côté un angle

aigu, l'angle formé par ces deux perpendiculaires BD, BE, sera le supplément de l'angle proposé.

Car l’angle ABC se compose de deux parties ABE, EBC : la première ABE est un angle droit et, si on ajoute la seconde EBC à l’angle DBE, la somme DBC est encore un angle droit; donc on a

ABC -+- DBE = a droits.

Remarque. — Pour que la droite BD, perpendiculaire à BC, fasse avec le côté BA un angle aigu, il faut et il suffit que BD et BA soient situés du môme côlo de BC.

Corollaire. — Deux angles, qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun, sont égaux ou supplémentaires.

Car, si les côtés GF, GH, d'un angle FGII sont respectivement perpendiculaires aux côtés BC, BA, de l’angle ABC, ils seront respectivement parallèles aux côtés BD, BE, de l'angle DBE, et, comme les côtés GF, BD, ainsi que les côtés GH, BE, sont d'ailleurs dirigés dans le même sens, on aura FGII = DBE, et, par conséquent, l’angle FGH sera le supplément de ABC. On verrait de même que l'angle F'GH est le supplément de DBE et qu’il est par suite égal à ABC.

Théorème IV.

117. Si, par le milieu D d'un côté d'un triangle ABC, on mène une parallèle DE à un second côté BC de ce triangle, cette parallèle passera aussi par le milieu du troisième côté.

Menons DF parallèle à AC; les triangles ADE, DBF, seront égaux, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, donc AE = DF; mais les droites DF, EC, sont égales, comme parallèles comprises entre parallèles, donc AE = EC.

Corollaire. I. — Les mêmes triangles donnent DE=BF, et, comme DECF est un parallélogramme, on a aussi DE= FC; donc la droite DE est la moitié du côté BC.

Corollaire II. — Réciproquement, la droite DE, qui joint les milieux D, E, de deux côtés AB, AC, d’un triangle, est parallèle au troisième côté BC.

Car la droite parallèle à BC, menée par le point D, doit passer par le point E; donc elle se confondra avec DE.

Corollaire III. — Donc la droite, qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle, est la moitié du troisième côté de ce triangle.

Corollaire IV. — Le corollaire II fournit un moyen trèssimple pour mener par un point donné A une parallèle à une droite xy.

Par le point A on mène une droite quelconque qui coupe K xy au point B, et on prend BC = AB;

\ --y - pUjs ju p0|nt c on mène Une seconde

droite quelconque qui coupe xy fau

x ®\ ~/o ^ point D, et on prend DE = CD; enfin,

on mène la droite AE, qui est la parallèle demandée.

Car xy, passant par les milieux des côtés CA, CE, du triangle CAE, est parallèle à la droite AE.

Théorème V.

118. les perpendiculaires DE, FC, IIK, élevées sur les milieux des côtés d’un triangle ABC, se coupent en un même point.

Car les deux droites DE, FC, étant respectivement perpendiculaires aux côtés de l’angle BCA, se rencontreront en un point O (83). De plus, / \ ce point, appartenant à la droite DE per- "/ E , '-F pendiculairc sur le milieu de BC, est éga-

gV . \ lement distcnt des sommets B, C, et ce

Z. l A même point, appartenant à FC perpendicu-

c laire sur le milieu de AC, est également distant des sommets A, C; donc les deux distances OB, OA, sont

égales, et, par conséquent, la perpendiculaire HK, élevée sur le milieu de AB, passera par le point O.

Théorème VI.

119. Les hauteurs AD, BE, CF, d'un triangle ABC, se coupent en un même point.

Par les sommets A, B, C, menons les droites GH, GK, HK, respectivement parallèles aux côtés BC, AC, AB ; les deux quadrilatères ABCII , ABKC, seront des parallélogrammes, et on aura