OH < OF

Remarque. — Réciproquement, dans le même cercle ou dans des cercles égaux, les cordes également éloignées du centre sont égales; et de deux cordes inégalement éloignées du centre, celle qui en est la plus éloignée est la plus petite.

Théorème 111.

141. Tout angle ACB, inscrit dans un demi-cercle, est un angle droit.

Menons le rayon OC; les triangles OAC, OBC, seront isocèles; donc l’angle OCA = OAC et l’angle OCB = OBC. Ainsi, dans le triangle CAB, l’angle ACB est égal à la somme des deux autres CAB, CBA; donc l’angle ACB est droit (91 ).

Corollaire. — Un angle A1)B, qui a son sommet hors du cercle et dont les côtés passent par les extrémités du diamètre AB, est un angle aigu. Car dans le triangle ÜAC, l’angle DCA est droit, donc l’angle D est aigu.

Au contraire, un angle AEB, qui a son sommet dans l’intérieur du cercle et dont les côtés passent par les extrémités de AB, est un angle obtus. Car son adjacent AEC est aigu.

Donc le lieu géométrique des sommets de tous les triangles rectangles, qui ont pour hypoténuse une même droite AB, est la circonférence décrite sur celte droite comme diamètre.

Remarque. — Ce théorème donne un moyen très-simple pour tracer deux droites CA, CB, perpendiculaires entre elles.

Il peut servir aussi à élever une perpendiculaire à l'extrémité C d’une droite AC, sans prolonger celte droite. Pour cela, du point O, pris hors de la droite AC, comme centre, avec OC pour rayon, on décrit une circonférence qui coupe AC au point A ; on mène le diamètre AB, et BC est la perpendiculaire demandée.