Construire un polygone égal à un polygone donné ABCDE

Je prends A'B' = AB, et des points A', B', comme centres, avec les distances AC, BC pour rayons, je décris deux arcs qui

se coupentau point C'; de même des points A', C', comme centres, avec AD et CD pour rayons, je décris deux arcs qui se coupent au point D', et des points A', D', comme centres, avec AE et DE pour rayons, je décris deux arcs qui se coupent au point E'; je mène les droites B'C', C'D', D'E’, E'A', et A' B'C' D'E' est le polygone demandé.

Pour le démontrer, je mène les diagonales AC, AD, A'C', A'D’, et les triangles ABC, ACD, ADE, sont respectivement égaux aux triangles A' B'C', A'C'D , A'D'E', comme ayantles trois côtés égaux chacun à chacun; donc, si l’on porte le second polygone

DIYISI03 d'üke droite en parties égales. 71

sur le premier, de manière que le triangle A'B'C' coïncide avec son égal ABC, le triangle A'C'D' coïncidera avec ACD, et ainsi de suite; donc les deux polygones sont égaux.

Remarque. — On peut obtenir le polygone A’B'C'D'E' par différentes constructions. Car il suffit que les deux polygones soient composés de triangles respectivement égaux et disposés de la même manière, ou plus généralement de parties respectivement égales et disposées de la même manière. [Note 16.]

s It. — DIVISION D’UNE DROITE EN PARTIES ÉGALES.

Problème1.

154. Diviser une droite donnée AB en un nombre quelconque de parties égales (en cinq parties égales, par exemple).

Sur une droite indéfinie Ax, à partir du point A, je porte une longueur quelconque AC cinq fois ; je joins le point G au point B, et par les points de division de AG je mène les droites CH, DR, EL, FM, parallèles à GB, qui diviseront AB en cinq parties égales.

Car, dans le triangle ADR, la droite CH passe par le milieu du côté AD et elle est parallèle à DR ; donc AH = HR (117 ) ; de même, dans le trapèze CELH, la droite DR passe par le milieu du côté CE et elle est parallèle aux bases CH, EL; donc HR = RL (122 ), et ainsi de suite.

Remarque I. — Il suffit de mener FM parallèle à GB; la droite BM sera la cinquième partie de AB, et on la portera cinq fois sur AB.

Remarque II. — Pour mener FM parallèle à GB, on peut porter AC sur Ax une fois de plus, ce qui donne GN ; on joint le point N au point B et on prolonge NB d’une longueur BO égale à NB; enfin on mène la droite OF qui coupe AB au point M et FM est parallèle à GB.

Car, dans le triangle NFO, la droite GB joint les milieux des côtés NF, NO.

Remarque III. — Pour déterminer BM, ou la cinquième partie de AB, d’après la méthode précédente, il est inutile de tracer la droite GB.

De plus, lorsque la droite AB doit être divisée en un nombre impair de parties égales (toujours en cinq parties, par exemple).

qi GÉOMÉTRIE PLANE. — LIVRE I.

il y aura sur kx un nombre pair de droites égales à AC. Dans ce cas les points de division C, E, G, sont inutiles, et on peut se borner à porter sur kx une droite quelconque AD trois fois; puis on mène, comme ci-dessus, la droite NB, qu’on prolonge d’une longueur BO égale à NB ; on joint le point O au point F, qui est alors l'avant-dernier point de division de AN ; et on obtient ainsi la droite BM, qui est la cinquième partie de AB.

Remarque IF. — Pour trouver les j» par exemple, de la

droite donnée AB, il suffira de mener, par l’extrémité E de la troisième division de AC, une parallèle EL à GB, et la droite AL

sera les = de AB.

Observation. — A la suite de ce problème, il peut sembler naturel qu'on donne aussi le moyen de diviser un angle ou un arc en parties égales ; mais la simple trisection d’un angle quelconque, ou la division de cet angle en trois parties égales, est un problème qui a beaucoup occupé les anciens et qui n'est pas du ressort des éléments de géométrie.

$ III. — PROBLÈMES Sl)R LES CONTACTS.

Problème I.