CD = 2EB + FD

On démontrerait, comme précédemment, que la question est ramenée à chercher la p. g. c. m. de EB et de FD.

Portons FD sur EB, et supposons qu’on ait

EB = a FD ;

alors FD sera la p. g. c. m. des deux droites EB, FD, et, par suite, la p. g. c. m. des deux droites proposées AB, CD.

Remarque. — Supposons qu’on ait cherché la p. g. c. m. de deux droites A, B, et désignons les quotients successifs par

q, r), q„ q» . . . , et les restes par r,, r„ r„. . . , on aura

A = Bÿ, r,,

B = r,q,-hr„ r, = r,ÿ3-|- r„ r, = r.ÿ.-t-r.,

Si la droite B est plus grande que -i le quotient q, = i, et le reste r, est évidemment plus petit que ; de même, si la droite B est plus petite que ^ > le reste r„ qui est moindre

{*) q, , qt, q s’énoncent : q indice un, q indice deux,. . ., et souvent,

pour abréger, q un, q deux, ....

que B, sera à plus forte raison plus petit que — ; donc on a dans tous les cas

Par une raison semblable on a les inégalités

Ci<

fi<

et par suite

Ainsi les restes de rang impair sont respectivement moindres que -» 7* — >•••; donc, si l’opération se prolongeait in- 2 4 8

définiment, on arriverait à des restes aussi petits qu’on voudrait.

C’est ce qui doit avoir lieu toutes les fois que les deux droites A et B sont incommensurables. Mais il est bon de remarquer que celte conséquence est purement théorique; car, lorsqu’on porte effectivement, au moyen d’un compas, la plus petite droite B sur la plus grande A, puis le premier reste r, sur la plus petite, et ainsi de suite, on finit bientôt par obtenir un reste d’un tel degré de petitesse, qu'il est impossible de le porter sur le reste précédent, ce qui empêche de continuer l’opération.

Problème II.

171. Étant données deux droites AB, CD, trouver le rapport de la première à la seconde.

Cherchons d’abord la p. g. c. m. des deux droites AB, CD,

Al— i * , Mi

et supposons qu'on arrive aux égalités suivantes :

AB = aCD-f-EB,