CD = 7 GB

AB = 19GB

D’où l’on voit que la droite AB contient 19 fois la 7e partie de CD ; donc on a

cd — y

Si les deux droites données étaient incommensurables, on pourrait négliger l’un des restes, et prendre le reste précédent pour commune mesure. On obtiendrait ainsi une valeur approchée du rapport de la première droite à la seconde.

172. Mesure d’uxe droite. — Au moyen de ce problème, si on prend une certaine droite pour unité, il sera facile de mesurer une droite quelconque. Par exemple, si la droite CD était l’unité de longueur, la mesure de la droite AB serait

; et, au contraire, si la droite AB était prise pour unité, la

mesure de CD serait — •

Si une droite ne contient pas l'unité exactement, et qu'on

veuille obtenir sa mesure à moins de - près, on divisera l’u-

nité en n parties égales (15i), puis on cherchera combien la droite donnée contient de fois l’unité et combien le reste contient de fois la n"m' partie de l’unité.

173. Remarque. — Le rapport d’une grandeur à une autre grandeur de même espèce est égal au rapport de la mesure de la première grandeur à ta mesure de la seconde, quelle que soit l’unité employée pour mesurer les deux grandeurs.

Soient les grandeurs A, B, et a, b, leurs mesures, c’est-à-dire leurs rapports à une unité quelconque u. On aura

et, par suite (1G0),

A = u X a, B = uX.b.

Or de cette dernière égalité on lire

ik’mtnu,

et, si on porte cette valeur de u dans l'égalité (i), 1 vient

donc

A = BXjX« = Bx

ce qu’il fallait démontrer. [Note 21.]