AOB AB CO'D“CD

Pour le démontrer, supposons que l'arc CD soit divisé en un nombre quelconque n de parties égales, et portons l’une de ces par- A, autant de fois que pos-

(•) On sait que cette égalité s’énonce : AOB divisé par CO'D égale AB divisé par CD; ou bien AOB est à CO'D comme AB est à CD; ou bien encore AOB sur CO' D égale AB sur CD.

sible, m fois par exemple; on obiiendra un arc AB', moindre que AB, dont le rapporta CD sera ^ ; de plus, portons la même partie, à la suite de AB', une fois de plus ; on obtiendra un

arc AB', plus grand que AB, dont le rapport à CD sera — -•

Donc on aura

m ^ AB m -f- i

n ^ CD n

Maintenant, si on joint les centres O, O' aux points de division des deux arcs AB', CD, l’angle CO'D sera divisé en n parties égales, et les angles AOB', AOB" contiendront respectivement l’une de ces parties ni fois etm-f- i fois; donc

AOB' m AOB" ni -+- 1 COD' ~ n 61 CO' D *“ ~~n

D’ailleurs, ces rapports sont l’un plus petit et l’autre plus

grand que

AOB .

; donc on aura

m AOB n < CÔ'T) <

ni -f- i

. . . , AOB AB

Ainsi les rapports , ^ > — > sont tous deux compris entre

, » mm- 1- 1 . i

les fractions — » — > dont la différence est -? et, par con-

AOB AB ,

sequent, si les rapports jYjrn’ étaient inégaux, leurdif-

laU i t la I*

férence devrait être moindre que--

Or, on peut prendre n assez grand pour que - soit plus petit

que tout nombre donné, donc on a(167)

AOB AB ... ,

CtPT) = CD t>OTKaz.]

Corollaire. — Dans le même cercle, ou dans des cercles égaux, deux secteurs (130) sont entre eux comme les arcs qui. leur servent de bases. On le démontrerait, en suivant la même marche que dans le théorème précédent.

TnÉORÈME II.

176. Un angle au centre a pour mesure l’arc compris entre ses côtés (en prenant, pour unité d’angle, l’angle au centre qui intercepte l’arc déjà pris pour unité).

Soit un angle AOB, qui a pour sommet le centre d’une circonférence, et établissons celte convention : qu’on prendra, pour unité d’angle, l’angle au centre COD qui intercepte sur cette même circonférence l’arc CD, pris pour unité d’arc. En vertu du théorème précédent, on aura