AMB

De même l'angle ABE est la différence des angles EBD, ABDdonc

mes. ABE = - BND — - AD = - ANB.

Corollaire III. — L'angle ABC, dont le sommet est dans l’intérieur de ta circonférence , a pour mesure la demi-somme de l’arc compris entre ses côtés et de l’arc compris entre les prolongements de ces mêmes côtés.

Menons la droite DA. L’angle ABC, extérieur au triangle ABD, sera la somme des angles ADC, DAE; donc

mes. ABC = - AC 4- - DE = - ( AC 4* DE ).

Corollaire IF. — L’angle ABC, dont le sommet est hors de la circonférence, a pour mesure la demi-différence des deux arcs compris entre ses côtés.

Menons la droite AE. L’angle AEC sera extérieur au triangle AEB, et, par conséquent, l’angle ABC sera égal à la différence des angles AEC, BAE ; donc

mes. ABC = - AC — - DE 2 2

= - ( AC — DE )

Corollaire F. — L’angle ABC, formé par une corde, et le prolongement d'une autre corde, a pour mesure la demisomme des deux arcs BMA, BND sous-tendus par ces cordes.

Menons la droite AD. L’angle ABC, extérieur au triangle ABD, sera la somme des angles ADB, BAD; donc

mes. ABC = - BMA 4- - BND

= - (BMA 4- BND).

Problème li.

178. Sur une droite donnée AB, décrire un segment capable d’un angle donné a (c’est-à-dire un segment tel, que tous les angles qui y seront inscrits soient égaux à l'angle a).

Je fais, au point B, l'angle ABC égal à l’angle donné; j’élève BO perpendiculaire sur BC et DO perpendiculaire sur le milieu de AB; puis du point O comme centre, avec le rayon OB, je décris une circonférence, et AMB sera le segment demandé.

Car l’angle AMB, inscrit dans ce segment, est égal à l’angle ABC formé par la corde AB et la tangente BC , puisque ces deux angles ont chacun pour mesure la moitié de l’arc AB; donc

AMB = a.

Remarque l. — I.’arc AMB est le lieu géométrique des sommets de tous les triangles, situés au-dessus de AB, qui ont pour base commune la droite AB, et pour angle au sommet l’angle a.

Remarque II. — Si l’angle a était droit, le segment cherché serait un demi-cercle ayant AB pour diamètre, conformément à ce qui a déjà été démontré (141).

Tiiêorème IV.

179. Dans tout quadrilatère inscrit ABCD, les angles opposés sont supplémentaires.

Car les angles opposés B, D, ont ensemble pour mesure la moitiéde la circonférence (177).

Remarque. — Béciproquement, un quadrilatère ABC1), dont deux angles opposés B, D, sont supplémentaires , est inscriptible. Car, si on fait passer par les trois points A, B, C, une circonférence ABCM, l’angle B aura pour mesure la moitié de l'arc AMC, et, par conséquent, son supplément I) doit avoir pour mesure la moitié de l’arc ABC; donc le sommet D est nécessairement situé sur la circonférence.