CARRÉ FAIT SIR LA SOMME DE DEUX DROITES, ETC

Définition.. — On dit qu’un trapèze, tel que EFG K, est rectangle, lorsque ses bases FG.EK, sont perpendiculaires à l’un des côtés non parallèles GK. [Note 26.]

Prohlème II.

194. Construire un triangle équivalent à un polygone donné ABCDEF.

Considérons trois sommets consécutifs A, B, C, et tirons la diagonale AC; puis par le sommet B menons la droite BG parallèle à AC, qui rencontre en G le côté DC prolongé, et joignons le point A au point G. Les triangles BAC, GAC, qui ont la même base AC et qui ont aussi des 0 hauteurs égales, puisque leurs sommets B et G sont situés sur une parallèle à AC, seront équivalents ; donc l’hexagone ABCDEF est équivalent au pentagone AGDEF, et, si on effectue sur ce pentagone une construction semblable à la précédente, et ainsi de suite, on finira par trouver un triangle équivalent au polygone proposé. [Note a6.]

$ II. - CARRÉ FAIT Sl’R LA SOMME. DF DEUX DROITES OU SUR LEUR DIFFÉRENCE; ETC.

Théorème I.

195. Le carré fait sur la somme AC de. deux droites AB, BC, est équivalent à la somme des carrés faits sur ces droites, augmentée de deux fois te rectangle fait sur ces mêmes droites.

Construisons le carré ACDE, qui a pour côté AC ; prenons la droite AF égale à AB, et menons les droitesFG, BH, parallèles aux côtés AC, AE.

On verra facilement que le carré ACDE se compose de deux carrés ABKF, KGDH, dont les côtés sont égaux aux droites AB, BC, et des deux rectangles BCGK, FKHE, qui ont chacun pour dimensions AB, BC; donc la proposition est démontrée.

Corollaire. — Le carré fait sur une droite est égal à 4 fois le carré fait sur sa moitié.

Théorème II.

196. Le carré fait sur la différence AC de deux droites AU, BC, est équivalent à la somme des carrés faits sur ces droites, diminuée de deux fois le rectangle fait sur ces mêmes droites.

Lié menu. q

Construisons les carrés ABDE, EFG1I, ACMF, qui ont pour côtés la droite AB, la droite EF égale à BC et la droite AC égale à AB — BC; puis prolongeons CM jusqu’à la rencontre de ED au point K.

La figure totale sera la somme des carrés faits sur AB elsurBC; or, si de celle figure on retranche les deux rectangles CBDK, GMKH, qui ont pour dimensions les droites AB, BC, il reste le carré ACMF fait sur la différence de ces droites. Donc la proposition est démontrée.

Théorème 111 .

197. Le rectangle fuit sur la somme AC et la différence AD de deux droites AB, BC, est équivalent à la différence des carrés faits sur ces droites.

Construisons le rectangle ACEF, qui a pour base AC et pour hauteur AD, ainsi que le carré ABGH qui a pour côté AB, et a u r par le point D menons la droite DK parallèle à BG, qui rencontre FM au point L et HG au point K.

Le quadrilatère LMGk sera le carré fait sur DB ou sur BC, et il s'agit de démontrer que le rectangle ACEF est équivalent à la différence des carrés ABGH, LMGK, ou à la figure ABMLKH.

Or celle figure et le rectangle ACEF ont une partie commune ABMF, et d’ailleurs leurs parties non communes FLKII, BCEM sont deux rectangles égaux, comme ayant chacun pour dimensions des droites respectivement égales à AD et à BC. Donc la proposition est démontrée.

198. Remarque. — Si on désigne par a et b les mesures de deux droites AB, BC, on aura (195, 186)

(a -+- bf — a' b1 -t- lab ;

et de plus, en supposant AB)> BC, on a (196, 197 )

On arrive ainsi à démontrer par la Géométrie des égalités très-connues en Algèbre; et, réciproquement, en supposant qu’on ait démontré en Algèbre ces mêmes égalités, et qu'on y regarde a et b comme les mesures de deux droites, on pourrait en conclure les trois théorèmes ci-dessus.