AB AC BC

ab ne Le

Pour le démontrer, je vais d'abord faire voir que

AB AC

ab ac

En effet, supposons que les côtés AC, ac aient une commune mesure, et que cette commune mesure soit contenue 3 fois dans ac et 4 fois dans AC, on aura

AÇ = 4

ac 3

Maintenant, par les points de division du côté ac, menons des parallèles à 6e, et par les points de division de AC, des parallèles à BC; le côté ab sera divisé en 3 parties égales et le côté AB en 4 parties, qui seront aussi égales entre elles (154). D'ailleurs, dans les triangles ADE, ade, les côtés AE, ae, sont égaux comme étant chacun l’une des parties égales des côtésAC, ac; de plus l’angle A = a, et les angles AED, aed, sont égaux comme étant respectivement égaux aux angles C, c; donc ces triangles sont égaux, et par conséquent AD = ad; donc on a

et, par suite,

AB 4

ab 3’ AB AC

ab ac

Si les côtés AC, ac étaient incommensurables, on démontrerait, par un raisonnement semblable à celui du n° 175, que AB AC

les deux rapports » — > sont encore égaux.

Cela posé, on verrait de même que

AB BC

ab bc

Donc les triangles ABC, abc sont semblables.

Autre démonstration. — Puisque les angles B, 6, sont égaux, les triangles ABC, abc, sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent ces angles (190); donc

ABC ABxBC AB BC

abc ab X 6c ab ' 7/cT’

loi