AB BC AC BC
ab bc ac ^ bc ’
AB aj:
ab ~ ac
On verrait de la même manière que AB BC
al> ~ bc
Donc les triangles équiangles ABC, abc, ont leurs < ôtés proportionnels et sont semblables.
* Corollaire I. — Si on coupe un triangle
/ \ ABC par une droite DE parai èle à l’un de
ses côtés BC, on détermine un second triangle ADE semblable au premier.
Car ces deux triangles sont équiangles entre eux.
Corollaire II. — Pour que deux triangles soient semblables,
il suffit qu'ils aient deux angles égaux chacun à chacun.
Doue, pour construire sur une droite bc, considérée comme côté homologue à BC, un triangle semblable au triangle ABC, on feralesangles b,c, respectivement égaux aux angles B, C; et abc sera le triangle demandé.
203. Corollaire III . — Ce théorème donne un premier moyen de trouver une quatrième proportionnelle à trois droites don-
Car les triangles ABD, ACE
nées o, b, c.
Sur les côtés Ax, A y d'un angle quelconque A, prenons AB = a, AC=è, AD = c; joignons le point B au point D, et menons CE parallèle à BD; la droite AE sera la quatrième proportionnelle cherchée, sont semblables ; donc on a
ou
AB AD AC — AE’ « c
b ÂÊ’
Observation. — Le théorème très-simple, mais extrêmement important, qu'on vient de démontrer est appelé théorème de Thaïes.
Tiialès, célèbre philosophe, originaire de Phénicie, né l’an G39 avant l’ère vulgaire, vint vers 58y se fixer à Milet, où il fonda une école connue sous le nom à' école ionienne.
Tiiéorümb II.
201. Deux triangles, qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables.
Soient les triangles ABC, abc, et supposons qu’on ait
AC
A = a et — = — ac
AB
ab
je dis que ces triangles sont semblables.
triangles ABC, ADE seront semblables, et on aura
AB AC AB AC
AD ~ AE? °U aF — Aë‘
Comparant celle proportion à celle qui est donnée par hypothèse, on conclut que
AC AC AE ac ’
et, par suite, que AE = ac.
Donc les triangles ADE, abc sont égaux, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, cl, par conséquent, les triangles ABC, «Ac, sont semblables.
205. Corollaire. — Si deux triangles ABC, ADE ont un angle commun A et que les côtés AB, AC, soient proportionnels aux côtés AD, AE, le troisième côté BC du premier triangle est parallèle au troisième côté I)E du second. Car les triangles ABC, ADE sont semblables, et, par conséquent, les angles correspondants B et ADE sont égaux ; donc BC est parallèle à DE.
Remarque. — Pour reconnaître si deux droites a, b, sont v proportionnelles à deux autres droites c, d, on fera un angle quelconque A, on prendra sur les côtés de cet angle AB = a, AC = 6, AD = c, AE = d, et on mènera les deux droites BD, CE. Si ces droites sont parallèles,
le rapport ^ sera égal au rapport dans le cas contraire, ces deux rapports seront inégaux.
triangles semblables.
loi
Théorème III.
20G. Deux triangles qui ont leurs côtés proportionnels sont semblables ,
Soient les triangles ABC, abc, et supposons qu’on ait
