AD AE~ DE

AB AC BC 0U ab ~ AE DE

Comparant cette suite de rapports égaux à celle qui est donnée par l’hypothèse, il vient

AC AC

AE ac'

BC BC

DE ~ bc '

donc on a AE = ac

et DE = bc.

Donc les triangles ADE, abc, sont égaux, comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, et, par conséquent, les triangles ABC, abc, sont semblables.

Remarque. — Pour que deux triangles soient semblables, il suffit qu’ils soient équiangles ou qu’ils aient les côtés proportionnels; mais il n’en est pas de même pour les polygones de plus de trois côtés. Ainsi, un carré et un rectangle sont équiangles entre eux, sans avoir leurs côtés proportionnels; un carré et un losange ont leurs côtés proportionnels, sans avoir leurs angles égaux chacun à chacun.

Théorème IV.

207. Deux triangles, qui ont les côtés parallèles ou les côtés perpendiculaires chacun <ï chacun, sont semblables.

Soient A, B, C, les angles du premier triangle et a, b, c, les angles du second, et supposons que A et a, B et b, C et c, soient les angles qui ont leurs côtés respectivement parallèles ou perpendiculaires; je dis que ces triangles sont semblables.

Iü4 GÉOMÉTRIE PLANE. LIVRE III.

En effet, les angles A, a, ayant leurs côtés parallèles ou perpendiculaires chacun à chacun, sont égaux ou supplémentaires, et il en est de même de B, b, de C, c (115, 110). Or, on ne peut pas avoir :

A + »= ad'

B 4- b = 2dr C -t- c = a',r,

sans quoi la somme des angles de deux triangles serait égale à 6d', ce qui est impossible; donc on a au moins A = a, par exemple.

De même, on ne peut pas avoir :

A = a B -+- b = 2dr C -+- c — iir ;

car, en ajoutant, il viendrait

A-f-B-|-C-t-ô-l-c = fl-h 4'\ ce qui est encore impossible.

Donc on aura nécessairement A = a et B = b, par exemple, et par suite C = c; donc les triangles proposés sont semblables.

Remarque. — Toutes les fois que deux triangles sont semblables, les côtés homologues sont opposés à des angles égaux. Dans le quatrième cas de similitude les côtés homologues sont les côtés parallèles ou perpendiculaires entre eux ; car, si les côtés de l’angle A sont parallèles ou perpendiculaires aux côtés de l'angle a, on aura A = a, et les côtés opposés à ces deux angles seront deux côtés homologues; or ces côtés sont parallèles ou perpendiculaires entre eux. [Notes 28 et 29.]

TllÉORÊME V.