POLYGONES SEMBLABLES

deux polygones seraient égaux, et on (fil alors que le second polygone est construit sur la même échelle que le premier.

212. Remarque /. — Réciproquement, deux poly gones semblables ABCDË, abcde, peuvent se décomposer en un même nombre de triangles, semblables chacun à chacun et semblablement disposés.

Des sommets homologues A, a, menons les diagonales AG, AD, ac, ad; on aura, en vertu de la similitude des polygones,

AB BC

ab ~ bc '

donc déjà les triangles ABC, abc, sont semblables.

De là il résulte que les angles ACB, acb, sont égaux, et si on les retranche des angles C, c, des polygones, les restes ACD, acd, seront égaux. D’ailleurs, à cause de la similitude des triangles ABC, abc, on a

AC BC ac bc

et, puisque les polygones sont semblables, on a aussi

BC CD

bc cd ’

AC CD

et, par suite, — = —

ac cd

Donc les triangles ACD, acd, ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, et, par conséquent, ils sont semblables.

On démontrerait de même la similitude des triangles ADE, ade, et on peut continuer ainsi, quel que soit le nombre des côtés des deux polygones.

Remarque II. — Le rapport de l'une des diagonales AC, AD, à son homologue est égal au rapport de AB à ab; et, comme les diagonales, qui décomposent les polygones en triangles semblables, peuvent partir de deux sommets homologues quelconques, il s’ensuit que le rapport de deux diagonales homologues est égal au rapport de similitude des deux polygones.

Théorème 11.