LIVRE III
ces polygones, en joignant les extrémités de deux côtés homologues AB.
ah, à tous les autres sommets, seront semblables chacun à chacun.
Car, le rapport de deux diagonales homologues étant égal à celui de deux côtés homologues, les triangles ABC et abc sont semblables comme ayant leurs côtés proportionnels; et il en est de même des triangles ABI) et ahd
214. Remarque I. — Réciproquement, si les triangles formés dans deux polygones ABCDE. abcde, en joignant les extrémités de deux côtés AB. ab, à tous les autres sommets, sont semblables chacun à chacun et disposés de la même manière, ces polygones seront semblables.
Pour le démontrer, il suffit de faire voir que les triangles ABC, ACD, ARE, qui composent le premier polygone, sont semblables aux triangles abc, acd, ade, qui composent le second. Or les triangles ABC, abc, sont déjà semblables par hypothèse.
Maintenant, par la même raison, les angles BAC, BAD, sont respectivement égaux aux angles bac, bad, d’où il résulte que l’angle CAD = cad, et de plus on a
ac ~âE ad '
donc les triangles ACD, acd, ont un angle égal compris entre côtés proportionnels et sont semblables. On verrait de même que le triangle ADE est semblable à ade.
Remarque II. — Les triangles ABC, ABD, ABE, et les triangles abc, abd, abe, seront respectivement semblables et disposés delà même manière, si les angles ABC, ABD, ABE, BAC, BAD, BAE, sont respectivement égaux aux angles abc, abd, abe, bac, bad, bae.
De là une manière très-simple de construire sur ab, homologue à AB, un polygone abcde semblable à ABCDE.
Théorème III.
215. Les périmètres de deux polygones semblables ABCDE, abcde, sont entre eux comme les côtés homologues, et leurs surfaces sont entre elles comme les carrés de ces mêmes côtés.
POLYGONES SEMBLAFLF.S. ’ Kit)
i° Les deux polygones étant semblables, on a
AB BC CD
ab bc cd
Mais, dans une suito de rapports égaux , la somme des numérateurs est à celle des dénominateurs comme un numérateur est à son dénominateur; donc
AB+BC.4-CD + .. AB ab -t- 6c -i- cd -+- . . . ab
2° Des sommets homologues A et a, menons des diagonales aux sommets des angles opposés; les triangles ABC, ACD, ADE, sont respectivement semblables à abc, acd, ade ; donc on a
ABC B£ ACD CD ADE Dïf
abc ~ Te' ' acd - Td ' ade ~ TT '
Or
et, par suite, donc
d’où l’on lire
