AD AJ DB — EC

je dis que DE est parallèle à BC.

En effet, supposons que le point E se meuve sur le côté AC dans le sens EA, c’est-à-dire de E vers A; le numérateur AE AE

du rapport diminuera et le dénominateur EC augmentera;

AE

donc le rapport deviendra de plus en plus petit: on verrait

de même que ce rapport devient de plus en plus grand, lorsque le point E se meut dans le sens EC. Donc le point E, déterminé par la droite DE, est le seul point du côté AC dont les distances aux sommets A et C soient dans le même rapport que les droites Al) et DB.

Cela posé, concevons que par le point D on mène une parallèle à BC ; cette parallèle devra couper AC en un point dont les distances aux sommets A et C seront entre elles comme AD est à DB; donc elle se confondra avec DE. Donc DE est parallèle à BC. [Note 34-]

Théorème III.

222. Les segments de deux droites AG, BII, déterminés par o autant de parallèles qu'on voudra AB, CD, EF, GH, sont proportionnels.

Soit O le point de rencontre des droites AG, BU. Dans le triangle OCD, la droite AB est parallèle au côté CD ; de même dans le triangle AEF, CD est parallèle au côté EF, et enfin dans le triangle OGH, EF est parallèle au côté GH ; donc on aura successivement