PROJECTION CENTRALE. D

De la même manière, la droite o! a un point J' à l'infini, qui est le correspondant du point J, où a est coupée par le rayon parallèle à a' ,

Deux droites parallèles ont le même point à l'infini. Il faut considérer toutes les droites parallèles à une même droite, comme ayant un point commun à l'infini.

Deux droites situées dans un même plan ont toujours un point commun (à distance finie ou infinie).

11. Si maintenant la droite a prend toutes les positions possibles dans le plan o-, la droite correspondante a' sera toujours déterminée par l'intersection des plans a' et 0«. Quand a se déplace, le rayon 01 engendre un plan tt parallèle à o- et le point r décrit la droite ua', que nous appellerons /'. Cette droite i' est donc telle que, à un quelconque de ses points, correspond un point à l'infini du plan o-, commun aussi au plan 71.

Nous admettrons que la ligne lieu de ces points à l'infini est une droite z, parce qu'elle doit correspondre à la droite i' du plan o-' et doit être l'intersection des plans tt, c; de cette manière, la loi qu'à toute droite de o-' correspond une droite de o- subsistera sans exception.

Le plan o- a une seule droite à l'infini, parce qu'il ne passe qu'un seul plan parallèle à a par 0.

La droite i' , image de la droite à l'infini, est dite droite de fuite ou droite limite.

De même, le plan a' a une droite à l'infini qui correspond à l'intersection du plan g par le plan n' mené par 0 parallèlement à 0-'.

Deux plans parallèles ont la même droite à l'infini. Il faut considérer tous les plans parallèles à un même plan comme passant par une droite fixe à l'infini.

Si une droite est parallèle à un plan, la droite à l'infini du plan passe par le point à l'infini de la droite. Si deux droites sont parallèles, elles rencontrent en un même point la droite à l'infini du plan qu'elles déterminent.

Deux plans se coupent toujours suivant une droite (à distance finie ou infinie).

6 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Une droite el un plan (qui ne passe pas par la droite) se rencontrent toujours en un point (à dislance finie ou infinie).

Trois plans qui ne passent pas par une même droite ont toujours un point commun (à distance finie ou infinie).

1*2. Si deux figures planes ABC,..., A'B'C',.. , situées dans des plans différents o-, o-', sont perspectives, ou bien si les rayons AA', BB', CC',... concourent en un point 0, les droites correspondantes AB el A'B', AC et A'C',..., BC el B'C, ... se coupent en des points situés sur une même droite qui est l'intersection des plans des deux figures. Ceci résulte déjà du n° 9.

Si M est un point de la droite co-', et si une droite a de a passe par M, la droite correspondante a' passera aussi par M; en effet, les deux droites a et a' sont les intersections d'un même plan projetant avec les plans o-, o-'; par suite, elles concourent au point commun aux trois plans.

La droite o-c' est le lieu des points qui sont à eux-mêmes leurs correspondants. La droite limite i' , du plan o-', est parallèle à <j(j' , car i' et la droite correspondante, qui est tout entière à l'infini dans o-, doivent se couper sur o-c'. De même, la droite limite / du plan a est parallèle à gi' ,

13. Béciproquement, si aux points A, B, C, . . . et aux droites AB, AC,..., BC,... d'une figure plane a correspondent, dans le même ordre, les points A', B', C/,... et les droites A'B', A'C',..., B'C d'une autre figure plane g' ('), de manière que les droites correspondantes AB et A'B', AC et A'C',. . ., BC et B'C',. . . se coupent en des points situés en ligne droite (la droite arj')^ les deux figures sont perspectives.

En effet, soit 0 le point commun aux trois plans AB.A'B', AC.A'C, BC.B'C; les trois arêtes AA', BB', CC du trièdre formé par les mêmes plans iront concourir en 0. De même, les trois plans AB.A'B', AD.A'D', BD.B'D' se couperont en un point commun aux arêtes AA', BB', DD', et ce point est en-

(' ) Les plans o-i, a' sont supposés distincts entre eux.