PROJECTION CENTRALE

core 0, puisque les deux droites AA', BB' suffisent pour» le déterminer. Donc les droites AA', BB', CC, DD',... passent toutes par un même point 0; ou bien les deux figures proposées sont perspectives, et 0 est leur centre de projection.

\k. Théorème. — Si deux triangles sont perspectifs (^) les intersections des côtés correspondants sont en ligne droite.

Si les triangles sont dans des plans différents o-, a', le théorème rentre dans une proposition déjà démontrée (n*'12).

Supposons, en second lieu, que les deux triangles donnés A,B,Ci, A2B2C2 soient dans un même plan a { fig. 3). Du

Fis. 3.

point 0, commun aux droites A.Az, B.B^, C, C2, menons en dehors du plan o- une droite quelconque sur laquelle nous prendrons deux points S,, S2. Projetons le triangle A, B, Ci de S, et le triangle A2B2C2 de S2. Les points A,, A2, 0, S,, S2 sont dans un même plan; donc S, A,, et S2A2 se rencontrent, etc. Soient A, B, C les points où se coupent entre elles les droites S, A. et S2A2, S, B, etS2B2, S, C, et S2G2; le triangle ABC sera perspectif à A,B,C, aussi bien qu'à A2B2C2. Les droites BC, B, C, B2C2 se coupent deux à deux et, par suite, concourent

C) f^oir la note du n° 9.

8 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

en un même point Ao('); de même CA, C, A,, C2A2 concourent en un point Bo et AB, A,B,, A2B2 en un point Co. Les trois points Ao, B», Co sont situés sur la droite commune au plan 0- et au plan ABC. Le théorème est donc démontré.

15. Théorème. — Si deux triangles A, B, C,, A2B2C2 jouissent de la propriété que les côtés B, Ci et B2C2, C, A, et C2A2, A, B, et A2B2 se coupent en trois points Ao, Bo, Co en ligne droite^ les deux triangles sont perspectifs.

Si les deux triangles donnés sont dans des plans différents, le théorème rentre dans une propriété déjà démontrée (n° 13).

Si les deux triangles sont dans un même plan (J^fig- 3), menons un autre plan par la droite AoBoCo et projetons-y le triangle A,B, C, d'un centre arbitraire S,. Si la projection est ABC, les droites BC, B, C, se couperont au point Ao, par lequel passe aussi B2 C2 ; de même CA passera par Bo et AB par Co. Les droites AA2, BB^, CC2 se coupent deux à deux, sans se trouver cependant toutes les trois dans un même plan ; par suite, elles concourent en un point S2. Les droites S, S2, A, A2 sont dans un même plan, parce que S, A,, S2 A2 se coupent en A; donc S, S2 coupe A, A2, B,B2, C, C2, c'est-à-dire que A, A2, B, B2, C, C2 concourent au point 0 commun au plan o- et à la droite S. S2 (^}.

§ IlL — H0MOLOGIE.

16. Reprenons la considération des n^^ 9, 10, 11 et imaginons que, la figure <j' restant invariable et fixe dans son plan, on fasse tourner celui-ci autour de la droite aa' (^), jusqu'à ce qu'il coïncide avec le plan o-. Les deux figures o-, o-'se trou-

(') BC est l'intersection des plans S, B, C,, S,BjC^, qui ne se confondent pas; ce qui revient à dire que les droites BC,, B, C,, B,C, ne sont pas toutes les trois dans un même plan. Le point où la droite BC rencontre le plan de B,C, et B,C, sera, par conséquent, commun à ces trois droites,

(*) Baltzer, Stéréom., p. 7/(76. Le théorème des nos 12 et 13 est dû à De-

SARGL'ES.

C) Pendant celte rotation les deux figures restent perspectives et le centre de projection décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à ^7' et dont le centre est sur la droite limite de s. Voir Baltzeu, Stéréom., p. 79.

17. Théorème. — Si aux droites a, b, c, . . . et aux points ab, ac,. . ., bc,. . . d'une figure correspondent, dans le même ordre, les droites a', b' , c\... et les points a'b', a'c',..., b'c',. . . d'une autre figure située dans le même plan que la première, de manière que les couples des points correspondants ab, a'b' , ac, a' c' , bc, b' c\... soient alignés sur un même point fixe 0, je dis que les droites correspondantes a et a' , b et b', c et c, . . . se coupent en des points situés en ligne droite.

C) Foir Baltzer, Scéréom., p. 77. La dénomination est due à Poncelet.

'^1^ (jcx^ tr^mr^'*^

il. O

nons que, la iigurc o- rcsiaiii invariaDle cl tixe dans son pian, on fasse tourner celui-ci autour de la droite <7(i' ('), jusqu'à ce qu'il coïncide avec le plan c. Les deux figures g, a' se trou-

(') RC est l'intersection des plans S, R, C,, S, BjC^, qui ne se confondent pas; ce qui revient à dire que les droites K C,, R, C,, R,Cj ne sont pas toutes les trois dans un même plan. Le point où la droite RC rencontre le plan de R,C, et RjCj sera, par conséquent, commun à ces trois droites,

(') Raltzeh, Stéréom., p. 7/176. Le théorème des n^* 12 et 13 est dû à Desargues.

(') Pendant cette rotation les deux figures restent perspectives et le centre de projection décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à «77' et dont le centre est sur la droite limite de g. Voir Raltzeii, Stéréom., p. 79.

HOMOLOGIE. 9

veronl alors dans un même plan. Les couples de droites correspondantes, comme a et a', h et 6',... se couperont encore sur une même droite fixe cro-', car celle-ci est restée immobile pendant la rotation du plan o-'. A quelle loi seront soumises les droites AA', BB', CC',... qui joignent les couples de points correspondants des deux figures arrivées dans un même plan? Je dis qu'elles concourront toujours en un point 0.

En effet, soient A et A', B et B', C et C trois couples de

points correspondants; ils forment deux triangles ABC, A' B'C

j dont les couples de côtés BC et B'C, CA et C'A', AB et A'B'

J se coupent en trois points en ligne droite. Par suite (n° 15), les rayons AA', BB', CC concourent en un point 0; mais il suffit de deux rayons AA', BB' pour déterminer ce point; donc, de quelque manière que l'on choisisse le troisième

^ "^ jcouple de points C, C, le rayon CC passera toujours par 0.

\ Deux figures o-, q' composées de cette manière, qui ne sont

^ autre chose que deux figures perspectives dont les plans ont

^ été amenés l'un sur l'autre, se nomment aussi Jîgures homologiques ('). Le point 0, sur lequel sont alignés les couples de points correspondants, est dit centre d'homologie ou centre

^ de collinéation; et la droite ao-', sur laquelle se coupent les couples de droites correspondantes, est dite axe d'homologie ou de collinéation. Chacune des deux figures a une droite

[ limite : c'est la droite qui correspond à l'infini de l'autre figure. Les deux droites limites sont parallèles à l'axe d'homologie {n°12).

17. Théorème. — Si aux droites a, b, c,. . . et aux points ah, aCy, . ., bc,. . . d'une figure correspondent, dans le même ordre, les droites a', b' , c',... et les points a'b', «'c',..., b'c',. . . d'une autre figure située dans le même plan que la première, de manière que les couples des points correspondants ab, a'b' y ac, a' c' , bc, b' c',... soient alignés sur un même point fixe 0, je dis que les droites correspondantes a et a' , b et b' y c et c',. . . se coupent en des points situés en ligne droite.

C) Foir Baltzer, Stéréom., p. 77. La dénomination est due à Poncelet.

ÏO GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Démonstration. — Soient, en effet, a et «', h q\, b' , c ai c' trois couples de droites correspondantes; comme, par hypothèse, les droites qui joignent les sommets correspondants des triangles abc, a'b'c' concourent en un point 0, il en résulte (n° 14) que les côtés correspondants a et a', b et 6', c et c' se couperont en trois points en ligne droite ; mais il suffit de deux points aa', bb' pour déterminer cette droite; elle reste donc la même si, au lieu de c et c', on considère deux autres droites correspondantes quelconques. Donc deux droites correspondantes se coupent toujours sur une droite fixe, que nous désignerons par s.

Il résulte de là que, si l'on imagine les deux figures tracées sur deux plans superposés et non sur un seul et même plan et si, l'un des plans restant fixe, on fait tourner l'autre autour de 5, on obtiendra deux figures qui sont exactement dans les conditions supposées au n'^ 13, c'est-à-dire deux figures perspectives.

Observons, en outre, que les considérations du n'' 16 forment la démonstration du théorème qui suit :

Si deux figures sont dans un même plan et si, aux points A, B, C, . . . et aux droites AB, AC,. . . , BC, . . . de l'une correspondent, dans le même ordre, les points A\ B', C',... et les droites A', B', A^ C',. . ., B'^C',. . . de l'autre, de manière que deux droites correspondantes se coupent toujours sur une droite fixe, les deux figures sont perspectives, c'est-à-dire que les rayons AA', BB', CC, . . , concourent en un point fixe.

18. Exercice. — Étant donnés le centre 0 et l'axe d'homologie ,v, et, en outre, deux points correspondants A et A' (alignés sur 0), construire la figure homologique d'une figure donnée.

Prenons un autre point B de la figure donnée [fig. ^). Pour obtenir le point correspondant B', il faut remarquer que le rayon BB' doit passer par 0 et que les droites correspondantes AB, A'B' doivent se couper sur s\ donc B' sera le point commun à OB et à la droite qui Joint A' à l'intersection de AB avec s['). On peut construire de la môme manière

(•) Cette construction montre que, si B tombe sur s, B' coïncide avec B; c'esià-dire que tout point de s est à lui-même son correspondant.

HOMOLOGIE

autant de couples de points corxespondants que l'on veut ; et pour tracer la droite r', qui correspond à une droite donnée r, il suffît de trou-