IZ^T

ver le point B', correspondant à un point B de a, et de joindre B au point 7's. t' ^ y

Pour trouver le point I' correspondant au point à l'infinitif d'une droite •' donnée, d'un rayon issu de O^oar exemple, on répétera la construction C/*5 donnée ci-dessus pour le pointa'; c'est-à-dire que I' sera le point commun au rayon donne Dl et à la droite qui joint A' au pointfd'intersection de s avec la droite AI , (ou la parallèle à 01, menée par A).

Tous les points analogues à I' (correspondant aux points a' l'infini de la figure donnée) tombent sur une droite i', parallèle à ^ ; i' est la droite limite de la seconde figure.

Si dans la construction précédente on change, l'un dans l'autre, les points A, A', on obtiendra un point J de la droite limite y de la première figure.

Supposons qu'au lieu de deux points correspondants A, A' {Jig. 5) on

Fig. 5.

or

donne deux droites correspondantes a, a' (qui se coupent sur s). Tout rayon mené par 0 les coupera en deux points correspondants. Pour

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

obtenir la droite b', qui correspond à une droite b de la première figure, il suffit de joindre le point Z»^ au point d'intersection de a' et du rayon qui passe par 0 et par «^ ( ' ).

Les données du problème peuvent être {flg. 6) le centre 0, l'axe .v,

et la droite limite y de la première figure. Alors, si une droite a de la première figure coupe y en J et s en P, la droite correspondante a' passera par P et sera parallèle à OJ.

Pour trouver le point A' correspondant à un point donné A, il faut tracer la droite <?', correspondant à une droite <?, menée arbitrairement par A; on prendra ensuite l'intersection de a' avec OA.

Adoptons la construction que nous venons de donner des figures homologiques, et soient encore 0 le centre, s l'axe d'homologie et j la droite limite de la première figure.

Soit donné un cercle dans la première figure [fig. 7, 8 et 9); à ce cercle correspond, dans la seconde figure, une courbe C que nous pouvons construire en déterminant, par la méthode ci-dessus, les points et les droites qui correspondent aux points et aux tangentes de C.

Deux points correspondants M, M' des deux courbes seront toujours en ligne droite avecO; et deux cordes correspondantes (c'est-à-dire les droites MN, M'N', qui joignent deux couples do points correspondants) se couperont toujours sur.?; et, comme cas particulier ('), deux tangentes ;w, m' correspondantes ( tangentes en deux points correspondants M, M') iront concourir en un point de s.

Il résulte clairement de là que la courbe C jouit, comme le cercle, des deux propriétés suivantes : i"" toute droite de son plan la coupe en deux

(•) D'où il suit que, si a passe par O, a' coïncide avec a, c'est-à-dire toute droite passant par O est à elle-même sa correspondante.

(') La tangente en M est considérée comme la droite qui passe par M et par le point infiniment voisin de la courbe. Baltzer, Planimétrie, p. 4i.

HOMOLOGIE

points, ou lui est tangente en un point, ou n'a aucun point commun avec elle; 2° par un point quelcorique du plan on peut mener deux tangentes à la courbe, ou une seule (si le point est sur la courbe), ou au-

cune.

Comme deux figures homologiques peuvent être considérées comme provenant de la superposition de deux plans perspectifs (n° 17 ), la courbe C n'est pas autre chose que la section faite dans un cône oblique, à base circulaire, par un plan quelconque. Ce cône est formé par les droites qui, d'un point quelconque de l'espace, projettent les points d'un cercle. C'est pour cela que la courbe C est nommée section conique ou simplement conique; donc la courbe homologique à un cercle est une conique.

Les points de la droite/ correspondent aux points à l'infini de la seconde figure. Or le cercle C peut couper y en deux points J,, J., ou toucher y en un point J, ou n'avoir avec 7 aucun point commun.

Dans le premier cas [fig. 7), la courbe C aura deux points J',, j;, à'

Fig. 7.

distance infinie, situés sur la direction des droites OJ^, OJ,. Aux deux droites, qui sont tangentes au cercle en J, et en J,, correspondront deux droites {respectivement parallèles à 0J„ OJ,) qu'il faut considérer comme tangentes à la courbe C en ses points à l'infini J', , V,. Ces deux tangentes, dont les points de contact sont à l'infini, sont appelées asymptotes de la courbe C, à laquelle on donne le nom à: hyperbole.

Dans le second cas [fig. 8), la courbe C a un seul point J' à l'infini; il doit être considéré comme le point de contact de la droite à l'infini/, qui est la tangente à C, correspondant à la tangente j au cercle en J. Cette courbe C se nomme parabole.

'4 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Dans le troisième cas [fig. 9), la courbe C n'a plus aucun point à l'infini et est nommée ellipse.

Fig. 8.

On démontre de la même manière que, si dans la première figure une

conique G est donnée, la courbe correspondante C, dans l'autre figure, sera aussi une conique.

HOMOLOGIE. l5

Le centre d'homologie est un point qui se correspond à lui-même, et

tout rayon passant par ce centre est à lui-même son correspondant.

Donc, si une courbe G passe parO [fig. lo), la courbe correspondante G'

passera aussi par 0, et les deux courbes auront la même tangente en ce

point.

Fig. 10.

De même, tout point de l'axe d'homologie est à lui-même son correspondant; donc, si une courbe de la première figure touche s en un point, la courbe correspondante de la seconde figure sera aussi tangente à ^ en ce même point, etc.

Remarquons deux cas particuliers :

1° L'axe s d'homologie peut être tout entier à l'infini; alors deux droites correspondantes sont toujours parallèles, ou, ce qui revient au même, deux angles correspondants sont toujours égaux. Dans ce cas, on dit que les deux figures sont semblables et semblable ment placées^ ou encore hoinotliétiques, et que le point 0 est le centre de similitude ou centre dlinmothétie. Dans deux figures homothétiques, un cercle correspond toujours à un cercle.

2° Le point 0, au contraire, peut être à distance infinie; alors les droites qui joignent des couples de points correspondants sont parallèles à une direction fixe. Dans ce cas, les figures sont dites homnlngiques par affinité ( ' ), et la droite s axe d'affiinité. A un point à l'infini correspond un pointa l'infini, et la droite à l'infini se correspond à elle-même. Il résulte de là qu'à une ellipse correspond une ellipse, à une hyperbole une hyperbole, à une parabole une parabole, à un parallélogramme un parallélogramme.

(') Baltzer, Stéréom., p.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

§ IV. — Figures homologiques a trois dimensions.

19. Supposons maintenant que l'on ait une figure composée de points, plans et droites, placés d'une manière quelconque dans l'espace, à trois dimensions; on en fait la perspective-relief [q,q problème peut se présenter dans la construction des bas-reliefs et des décorations théâtrales ) de la manière suivante. On prend un point 0 de l'espace, comme centre de perspective ou &liomologie ; un plan % à' homolngie , dont chaque point devra être l'image de lui-même et, en outre, un point A', qui sera l'image d'un point donné A de la figure objective, de manière que AA' passe par 0. Alors, soit B un autre point quelconque; pour obtenir son image B', menons le plan OAB, et opérons dans ce plan comme s'il s'agissait de construire deux figures homologiques, dont 0 serait le centre, la droite, commune aux plans OAB et t: l'axe, et A, A' deux points correspondants. Le point B' sera l'intersection de OB avec la droite passant par A', et par l'intersection du plan tt et de la droite AB (n" 18).

Soit C un troisième point; son image C sera l'intersection de OC par A'D ou par B'E, où D, E sont les points de rencontre du plan tt avec AC, BC. Le point C'j^t le môm»- dans les deux cas ; en effet, les couples de droites OA' et CE, OB' et CD, A'B' et DE concourent ^ trois points A, B, J d'une droite : donc (n°15) les droites OC, A'E, B'D auront un point commun C.

Ce procédé donnera, pour chaque point de la figure donnée, le point correspondant de l'image, et deux points correspondants seront toujours alignés sur le point fixe 0. Tout plan t, mené pac 0, coupe les deux figures solides (la figure donnée et son image), suivant deux figures hortiologiques, pour lesquelles 0 est le centre, et la droite o-rr l'axe d'homologie. Il résulte de là qu'à toute droite de la figure donnée correspond une droite dans l'image, et que deux droites correspondantes sont toujours dans un plan passant par 0 et se rencontrent en un point du plan TT.

Je dis de plus qu'à tout plan a appartenant à la figure donnée, et ne passant pas par 0, correspondra aussi un plan dans l'image. En effet, aux droites «, ^, <?,,.. du plan a correspondent autant de droites a\ b', c',. . .; et aux points ab, ac,. . ., bc les points a'b', «', 6-', . . . , b'c\. . ,. En d'autres termes, les droites rt', b',c',.. . sont telles qu'elles se coupent deux à deux, sans avoir cependant un point commun à toutes; donc elles sont dans un môme plan a' (').

C) En effet, comme c' coupe a' et b' sans passer par le point a' b\ c' a deux points communs avecle plan a' 6' : donc c' est tout entière dans le plan a'b',....

FORMES GÉOMÉTRIQUES. l'J

Deux plans correspondants a, a' se coupent sur le plan n. En effet, tous les points et toutes les droites de ce plan se correspondent à eux-mêmes; donc la droite aV coïncide avec la droite avr.

Les deux plans a, a' constituent évidemment deux figures perspectives ( comme les plans o-, c' des n°' 9 et 11 ).

Il existe dans tout plan o-, passant par 0, une droite limite /', qui est l'image de la droite à l'infini du même plan. Les droites limites de deux plans (7,, 0-2 ont un point commun, qui est l'image du point à l'infini de la droite o-, o-^. Les droites limites de tous les plans c sont donc telles qu'elles se coupent deux à deux : et comme elles ne passent pas toutes par un môme point (parce que les plans par 0 ne passent pas tous par une même droite), elles doivent se trouver toutes dans un même plan cp'.

Ce plan «p', qu'on peut appeler plan de fuite ou plan limite, est parallèle au plan tt, car toutes les droites limites des plans o- sont parallèles au même plan tt.

Le plan limite <p' est donc le lieu des droites correspondant aux droites à l'infini de tous les plans de l'espace, et, par suite, aussi le lieu des points à l'infini de toutes les droites de l'espace : en effet, la droite à l'infini d'un plan quelconque a n'est autre chose que la droite à l'infini du plan parallèle à a et passant par 0 ; de même aussi le point à l'infini d'une droite quelconque n coïncide avec le point à l'infini de la droite parallèle à rt, menée par 0.

20. Les points à l'infini de tout l'espace à trois dimensions sont donc lels que leurs images sont les points d'un seul et même plan «p' (le plan de fuite). Il est donc naturel de considérer tous les points à l'infini de l'espace comme situés dans un même plan o (le plan à l'infini), qui a pour image le plan '/ ( ' ).

La notion du plan à l'infini f étant admise, le pointa l'infini d'une droite quelconque a n'est autre que le point «<}?, et la droite à l'infini d'un plan quelconque a n'est autre que la droite a.'f. Deux droites sont parallèles si elles se coupent en un point du plan cp ; deux plans sont parallèles si leur droite d'intersection est dans le plan ip, etc.

§ V. -— Formes géométriques.