FORMES HA

l'ordre où ils sont énoncés , sont dits harmoniques y s^il est possible de construire un cjuadt^angle complet, tel que deux côtés opposés passent par A, deux autres côtés opposés par^y le cinquième parQ,^ le sixième par D. Il résulte du théorème qui précède que si un tel quadrangle existe, c'est-à-dire si la forme ABCD est harmonique, on peut construire une infinité d'autres quadrangles satisfaisant aux mêmes conditions. Il en résulte, en outre, que trois points ABC étant donnés en ligne droite (et étant donné l'ordre dans lequel il faut les considérer), le quatrième point D qui, avec eux, constitue une forme harmonique, est déterminé et unique^ et s'obtient par la construction d'un des quadrangles (n** 50).

RMONIQUES. 33

l'ordre où ils sont énoncés, sont dits harmoniques, s'il est possible de construire un quadrilatère complet, tel que deux sommets opposés tombent sur a, deux autres sommets opposés sur b, le cinquième sur c et le sixième sur d. Il résulte du théorème qui précède que si un tel quadrilatère existe, c'est-à-dire si la forme <7^c<^ est harmonique, on peut construire une infinité d'autres quadrilatères satisfaisant aux mêmes conditions. Il en résulte, en outre, que trois rayons abc d'un faisceau étant donnés (et étant donné Tordre dans lequel il faut les considérer), le quatrième rayon d qui, avec eux, constitue une forme harmonique, est déterminé et unique, et s'obtient par la construction d'un des quadrilatères (n° 50).

Fig. i\.

39. Si l'on projette d'un, point S les points harmoniques ABCD sur une autre droite, les projections A'B'C'D' seront encore quatre points harmoniques [fig.i^]. En effet, imaginons deux, plans menés respectivement par les deux droites AB, A'B' et supposons construit dans le premier plan un quadrangle complet dont deux côtés opposés concourent en A, deux autres côtés opposés en B, et dont le cinquième côté passe en C; alors le sixième côté passera en D (n° 38), parce '• 3

34 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

que la forme ABCD est harmonique par hypothèse. Projetons maintenant du point S ce quadrangle sur le second plan ; nous

obtiendrons un nouveau quadrangle dont deux côtés opposés se coupent en A', deux autres côtés opposés en B' et dont le cinquième et le sixième côté passent respectivement par C et D'; donc A'B'C'D' est une forme harmonique.

40. L'examen de la Jig, 24 montre que les rayons harmoniques «, 6, c, cl sont coupés par une transversale quelconque, par m par exemple, en quatre points ABCD qui sont harmoniques. En effet, le quadrangle PQRS est tel que deux de ses côtés opposés (a, n) se coupent en A, deux autres de ses côtés opposés (6, /) se coupent en B, pendant que le cinquième côté (c) et le sixième.(a) passent respectivement par C et D.

Réciproquement, supposons que la forme harmonique ABCD [fio-, 24) soit donnée et prenons arbitrairement le centre de projection S. Je dis que les quatre rayons projetants S(A, B, C, D) sont harmoniques. En effet, menons à volonté par A une droite qui coupe SB en P, SC en Q, puis traçons BQ qui coupe AS en R. Dans le quadrangle PQRS, deux côtés opposés concourent en A, deux autres côtés opposés concourent en B, et le cinquième côté passe par C : donc le sixième côté doit passer par D (n« 38, à gauche), puisque la forme ABCD est harmonique par hypothèse. Mais alors nous avons un quadrilatère complet Jdmn qui a deux sommets opposés A, R sur SA, deux autres sommets opposés B, P sur SB, un cinquième sommet QsurSG et le sixième sommet D sur SD; donc (n« 38, à droite) les quatre droites qui, à partir de S, projettent ABCD sont harmoniques. D'où :

Quatre rayons harmoniques sont coupés par une transversale quelconque en quatre points harmoniques, et réciproquement

les rayons qui projettent quatre points harmoniques d'un centre quelconque sont harmoniques.

41. Le théorème du n° 38 à droite est corrélatif (dans la Géométrie plane) à celui qui l'accompagne à gauche, dans lequel on suppose tous les quadrangles situés dans un même plan. D'après ce qui précède, le théorème du n° 38, à gauche, est encore vrai, et a la même démonstration, si les quadrangles sont construits dans des plans différents.

Considérant donc ce dernier théorème comme une proposition de Géométrie de l'espace à trois dimensions, le théorème corrélatif sera le suivant :

Si trois plans donnés a, (3, y passent par une même droite s, et si l'on construit un angle tétraèdre ifCkixv complet, dont deux arêtes opposées /l, ^v soient dans le plan a, deux autres arêtes opposées y.v, I^à dans le plan (3 et l'arête Id dans y, la sixième arête y,^ se trouvera toujours dans un plan déterminé à, qui ne change pas, de quelque manière que Von fasse varier les éléments arbitraires de V angle tétraèdre.

En eff'et, si (à partir du même ou d'un autre sommet) on construit un autre angle tétraèdre complet, qui satisfasse aux conditions prescrites, les deux angles tétraèdres auront cinq couples d'arêtes correspondantes situés dans des plans qui passent par une même droite s : donc (n° 31, à gauche) le sixième couple se trouvera aussi dans un plan passant par la droite s.

Nous nommerons les quatre plans a, p, y, ô plans harmoniques, ou bien nous dirons que la forme qu'ils constituent est harmonique.

42. En coupant l'angle tétraèdre yJ^v par un plan quelconque, ne passant pas par le sommet, on obtient un quadrilatère complet; et le même plan transversal coupe les plans a, (3, y,ô suivant quatre rayons a,6,6',J d'un faisceau dont les deux premierscontiennentdeuxcouplesdesommetsdu quadrilatère pendant que les deux autres passent respectivement par les deux autres sommets. Donc ( n° 38, à droite ) quatre plans harmoniques a, (3, y, ô sont coupés par un plan transversal suivant quatre droites harmoniques.

36 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

De même aussi, si les quatre plans harmoniques a, p, y, à sont coupés parunetransversale en quatre points A,B,C, D, la forme ABCD est harmonique. En effet, menons un plan par la transversale, il coupera les plans a, [3, y, a suivant des droites a, b, c, d. Ces droites sont harmoniques, comme nous venons de le démontrer; mais ABCD est une section du faisceau abcd; donc (n° 40) A,B, C,D sont quatre points harmoniques.

43. Donc, si nous comprenons sous la dénomination de forme harmonique soit le groupe de quatre points harmoniques, soit celui de quatre droites harmoniques, soit enfin celui de quatre plans harmoniques, nous aurons le théorème :

Toute projection ou section d'une forme harmonique est une forme harmonique. Ou bien :

Toute forme projectii^e à une forme harmonique est aussi une forme harmonique.

Réciproquement, deux formes harmoniques sont toujours projectiles. Pour démontrer cette propriété, il suffit de considérer deux groupes de quatre points; car, si Tune des formes était un faisceau, on obtiendrait quatre points harmoniques en le coupant par une transversale. Supposons donc que ABCD, A'B'C'D' soient deux formes harmoniques, projetons ABC sur A'B'C de la manière qui est expliquée au n° 37; les mêmes opérations (projections et sections) qui servent à déduire A'B'C de ABC donneront pour D un point D,; d'où il résulte que la forme A'B'C'Di sera harmonique comme l'est ABCD. Mais A'B'C'D' sont aussi quatre points harmoniques, par hypothèse; donc D, coïncide avec D', puisque les trois points A'B'C déterminent le quatrième point qui, avec eux doit donner une forme harmonique {n° 38 à gauche) : c'est ce qu'il fallait démontrer.

Ajoutons ici une conséquence des définitions données (n"'* 41 et 42) :

La forme corrélative à une forme harmonique est aussi une forme harmonique.

44. Si a, 6, c, d sont les rayons d'un faisceau [fig. ^5) on dit que aQ\b soni séparés par c ei d quand un rayon, qui décrit le faisceau en pivotant, ne peut passer de a en 6 sans se

confondre avec un et un seul des deux autres rayons c, d. La même définition s'applique à quatre plans d'un faisceau ou à quatre points A, B, C, D d'une ponctuelle {fig. 24); à la condition toutefois que l'on admette que, sur une droite {fig. 26) on peut passer d'un point A à un point B de deux

manières, soit en décrivant le segment fini k^ y soit en décrivant le segment infini qui commence en A, passe par le point de l'infini et se termine en B.

Cette définition admise, nous pouvons énoncer la propriété suivante qui est évidente : Quatre éléments d'une forme de première espèce (c'est-à-dire quatre points d'une droite, quatre rayons d'un faisceau, etc.) peuvent toujours être divisés en deux couples, de manière que l'un soit séparé par l'autre, et cela ne peut se faire que d'une seule manière. Dans la fig. 24, par exemple, les deux couples qui se séparent réciproquement sont AB, CD, et si A'B'C'D' est une forme projective à ABCD, le couple A'B' sera aussi séparé par CD'; car les projections et les sections n'allèrent pas la position relative des éléments.

45. Soient maintenant quatre points harmoniques ABCD ifig-'^']), c'est-à-dire quatre points obtenus par la construc-

tion du n° 38 à gauche, qui permet de construire, d'une infinité de manières, un quadrangle complet dont A et B sont

38 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

deux points diagonaux (n** 30, 2°, à gauche), tandis que deux côtés opposés passent par C et D. Il suffit d'énoncer cette construction pour reconnaître que les deux points A et B sont dans les mêmes conditions par rapport au système et qu'il en est de même pour les points C et D. Il résulte de là que si ABCD est une forme harmonique, les formes BACD, ABDC, BADC, que l'on obtient par les permutations des lettres A et B et par celles des lettres C et D, sont aussi harmoniques. Par suite (n° 43) la forme ABCD, par exemple, est projective à la forme BADC, c'est-à-dire que l'on pourra passer de l'une à l'autre au moyen d'un nombre limité de projections et de sections. En effet, en projetant de K sur CQ la forme ABCD, on obtient la forme LNCQ qui, projetée de M sur AB donne BACD.

46. Dans la forme harmonique ABCD, les points A et B sont nécessairement séparés (n° 44) par les deux autres. En effet, projetons (fig' 27]) la forme ABCD sur, la droite KM, d'abord du centre L, puis du centre N; les projections seront KMQD, MKQD. Ces formes, composées des mêmes éléments, doivent présenter le même mode de séparation : donc les points K, M sont séparés par Q, D, et par suite A, B sont séparés par C, D.

47. Menons les droites AQ, BQ {Jig, 28) qui rencontrent NK et LM, KL et MN respectivement aux points S, U, T, V.

Le quadrangle complet LTQU a deux côtés opposés qui concourent en A, deux autres côtés opposés qui concourent en B, un cinquième côté ( LQ ou LN) passant par C: donc le sixième

FORMES HARMONIQUES. 3g

côlé TU passera par D (n° 38). De même, le sixième côté VS du quadrangle complet NVQS passera par D, et les sixièmes côtés SX, UV des quadrangles complets KSQÏ, MUQV passeront par C. On obtient ainsi un quadrangle SïUV dont deux côtés opposés concourent en C, deux autres côtés opposés en D, tandis que le cinquième et le sixième côlé passent respectivement par A et B. Cela signifie que la condition commune (n° 45) aux points C et D est la même que celle qui est commune aux points A et B; ou, ce qui revient au même, que le couple A, B peut être changé avec le couple C, D. Donc, si ABCD est une forme harmonique, non-seulement les formes BACD, ABDC, BADG, mais aussi les formes CDAB, CDBA, DCAB, DCBA sont harmoniques (').

Les points A et B sont nommés conjugués entre eux : les points C et D sont donc aussi conjugués.

On dit que les points A, B sont séparés harmoniquement par les points C, D ; ou bien que les points C, D sont séparés harmoniquement par A et B, ou bien encore que le segment AB est divisé harmoniquement par le segment CD,.... Si deux points donnés A, B(y?^. 27) sont séparés harmoniquement par les points C, D, où la droite AB est coupée par deux droites QC, QD, on dit aussi que les points A et B sont séparés harmoniquement par les droites QC, QD, ou par le point C et la droite QD, etc.; et que les droites QC, QD sont séparées harmoniquement par les points A, B, . . ..

n existe des propriétés et des dénominations analogues pour quatre rayons ou pour quatre plans harmoniques.

48. On peut aussi tirer l'énoncé suivant de la proposition du n° 38 (à gauche) : Dans un quadrilatère complet, chaque diagonale est divisée harmoniquement par les deux autres {'^).

Soit, par exemple, le quadrilatère complet {Jîg. 29)) dont les sommets opposés sont A et A', B et B', C et C. La diagonale AA' est rencontrée en E, F par les deux autres diago-

(*) Reye, Géométrie der LageiRiinnovQv, 1866), t. I, p. 3/(. (^) Carnot, Géométrie de position {Varis, i8o3), n» 225. — Baltzer, Trii p. 1/17.

4o GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.

nales BB', CC Maintenant considérons le quadrangle complet BB'CC, dont deux côtés opposés concourent en A, deux

Fig. 29.

autres côtés opposés en A', tandis que le cinquième et le sixième côté passent respectivement par E, F. Les points AA' sont séparés harmoniquement par les deux points E, F. De même, la considération des deux quadrangles complets CC'AA', AA'BB' permet d'établir la même propriété pour les deux autres groupes BB'FD, CC'DE.

49. Dans le quadrangle complet BB'CC, les points diagonaux sont A, A', D; et, comme le groupe des points BB'FD est harmonique, la même propriété appartient au groupe des quatre rayons qui les projettent de A (n° 40); donc :

Dans un quadrangle complet, deux côtés concourant en un point diagonal sont séparés harmoniquement par les deux autres points diagonaux .

Du reste, ce théorème n'est que le corrélatif (d'après la dualité dans la Géométrie plane) du théorème démontré dans le numéro précédent.

50. Les théorèmes du n" 38 donnent immédiatement le moyen de résoudre, au moyen de la règle seulement, les problèmes :

Etant donnés trois points d'une forme Iiarmo nique , construire le quatrième point.

Solution. — Soient [Jig. 27) A, B, C les points donnés (en ligne droite), A et B devant être conjugués entre eux. Menons arbitrai-

Ètant donnés trois rayons d^un faisceau harmonique, construire le quatrième rayon.

Soient [fig. 1^) a,b,c les rayons donnés ( issus d'un même centre et situés dans un même plan), a et b devant être conjugués entre eux.

rement deux droites par A et une par C, cette dernière coupe les deux premières en L, N. BL, BN coupent respectivement AN, AL en M, K ; la droite KM coupera la droite donnée au point cherché D, conjugué de CC).

Par un point Q de c menons arbitrairement deux droites qui coupent a en A, B, et h en P, B. Les droites AB, BP se couperont en un point D, quijoint au centre donné, donnera le rayon cherché «, conjugué à c.

51. SoitC (7%. 3o) le point milieu de A et B (n° 50 à gauche). Nous pourrons disposer des éléments arbitraires de manière que K et M se transportent à distance infinie : pour cela, il faut construire un parallélogramme ALBN sur la diagonale AB ; l'autre diagonale LN passera par G. Donc le point D passera à l'infini.

Béciproquement, si nous supposons que l'on donne les points A, B, D dont le troisième est à l'infini, nous pourrons encore construire sur la diagonale AB un parallélogramme ALBN; le quatrième point C, conjugué à D, doit être donné par Tintersection de la droite donnée avec LN : ce sera donc le point miheu de AB. Donc :

Quatre points ABCD étant harmoniques, si C est le point milieu de deux points conjugués A et B, le quatrième est à distance infinie ; et réciproquement, si l'un des points est à l'infini, son conjugué sera le point milieu des deux autres.

Fig. 3o.

Fig. 3i,

52. Soit c [fig. 3i) la bissectrice de l'angle ab (n° 50, à droite). En prenant Q à l'infini sur c, les segments AB, PB seront égaux et compris entre les parallèles AP, BR : donc le rayon d sera perpendiculaire à c ; c'est-à-dire :

Quatre rayons «, è, r, d étant harmoniques, si l'un d'eux c fait des angles

(*) De LA HiRE, Sectiones conicœ (Parisiis, i665), p. g.

42 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

égaux avec les deux conjugués a et h^ le quatrième d sera perpendiculaire à c.

, Réciproquement, si dans un faisceau harmonique rt^c<:/ [fi^. Sa) deux

/ rf

rayons conjugués c et r/sont perpendiculaires, ils seront les bissectrices des angles formés par les deux autres. En effet, en coupant le faisceau (dont le centre est en S) par une transversale parallèle à d^ la section ABCD donne quatre points harmoniques (n° 40); et comme D est à l'infmi, C sera le point milieu entre A et B (n° 51). Donc ASB est un triangle isoscèle et, par suite, SG est la bissectrice de l'angle au sommet.

§ IX. — Rapports anharmoniques.

53. Reprenons la fig, 2, qui représente la projection des points d'une droite a sur une autre droite «', faite d'un centre 0; cherchons la relation qui existe entre deux segments correspondants AB, A'B'. Les triangles semblables OAJ, A' or donnent

JA :JO==rO iTA' C);

de même les triangles semblables OBJ, B' OT donnent

JB:JO = rO:rB^

d'où

JA rA'r=jB.rB' = JO.ro,

C) Dans toutes les équations entre des segments, nous supposons que l'on observe la règle ou convention des signes en vertu de laquelle AB et BA sont regardées comme des grandeurs égales et de signes contraires; il en résulte que si A, B, O sont trois points en ligne droite, on a

AB 4- BO H- OA = O ou AB=:OB — OA.

Voir Baltzer, Planim.^ p. i68, et Trig., p. ii3.

RAPPORTS ANHARMONIQUES. 4^

c'est-à-dire que le rectangle JA.FA' est constant, quel que soit le couple de points correspondants A, A^ En désignant la constante JO.FO par k, nous aurons donc

l'A- A, TB'^j^; en faisant la différence,

mais

V B' - FA' = A' B', JA - IB rz= - AB,

donc Si nous considérons quatre points A, B, C, D [fig- 33) de «

Fig. 33.

et les quatre projections A', B', C, D', nous aurons, d'une manière analogue,

et, en divisant.

A^'>'D' AC AD B'C'**B'D' "■ BC'bD

Si ABCD, A'B'C'D' sont des sections faites par deux transversales s, s' (non situées dans un même plan) dans quatre plans a, j3, y, d qui passent par une même droite w, c'est-àdire si A'B'CD' est une projection de ABCD faite de l'axe ii (n° k), on aura encore l'égalité que nous venons de démontrer pour le cas de la projection d'un centre 0.

En effet, coupons les quatre plans a, (3, y, a en A''B''C''D" par une droite 5", qui rencontre s et s'. Les droites A\", BB", ce, DD'' sont les intersections des plans a, (3, y, d par le plan ss" et, par suite, elles concourent au point S, où ce dernier plan coupe l'axe u. De même A'A", B'B'', C'C", D'D^'sonl quatre droites situées dans le plan s' s" et concourant en un point S' de l'axe m. Donc A''B"C"D" est une projection de ABCD du centre S et une projection de A'B'C'D' du centre S'; on aura donc

A"C" A'D" AC AD A'C XD' B'C'B^D'' — ^^ '^Yy ~B'C'*FD^*

Le nombre