AC AD BC "BD
est nommé rapport anharmonique ou double rapport de quatre points (en ligne droite) A, B, C, D. Le résultat obtenu exprime donc le théorème :
Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite n'est pas altéré par une projection, quelle qu'elle soit ('). Ou bien :
Deux groupes projectifs de quatre points ABCD, A'B'C'D' {situés respectivement en ligne droite) ont des rapports anharmoniques égaux.
Le quotient des expressions de A'C, B'C donne
A'C A C A J B'C'~BC*BJ*
(•) Pappus, Mathematicce collectiones (Édition de Comandino, Venise, 1689), liv. VU, p. 129. — Voir Baltzer, Trigon., p. iSg.
RAPPORTS ANHARMONIQUES. 4^
dans celte égalité le second membre est le rapport enharmonique de quatre points A, B, C, J; donc le premier membre sera le rapport enharmonique de A'B'G'J', ou bien le rapport enharmonique de quatre points A', B', C, J^ dont le dernier est à l'infini, n'est autre chose que le rapport simple A'C'iB'C.
On a de même
B^D' AJ AD
A^iy~BJ*BD'
c'est-à-dire que le rapport enharmonique des quatre points A', B', y, D', dont le troisième est à l'infini, est égal au rapport simple B'D' : A'D'.
On tire de là la solution du problème :
Étent donné trois points A, B, C (en ligne droite), déterminer un quetrième point D, de manière que le rapport enhermonique de la forme ABCD soit un nombre 1 donné de signe et de grandeur {fg. 34 ).
Fig. 34. ,
Solution, — Menons par G une trensversele quelconque et portons-y, à pertir de C, deux segments CA', CB' dont le repport CA'C;B' soit égal à X:i, valeur du repport enharmonique donné; les deux segments CA', CB' seront dirigés dans le même sens ou en sens contraire, suivant que 1 sera positif ou négatif. Tirons les droites AA', BB', et soit S leur intersection ; la parallèle à A'B' menée par S rencontrere AB eu point cherché D ( ' ).
En effet, nommons D' le point à l'infini de A'B', ABCD étant une projection de A'B'C'D' du centre S; le rapport anhermonique sera égal à celui de A'B'C'D', ou bien à
(*) CiiASLES, Géométrie supérieure (Paris, 1802), p. 10.
46 GÉOMÉTRIE PROJEGTIVE.
C'est là la solution graphique de l'équation AC AD
ou
