BD ~ BC

ce qui revient à dire du problème : trouver le point D qui, avec deux points donnés A et B, forme deux segments AD, BD (en ligne droite), dont le rapport soit égal à un nombre p donné de signe et de grandeur.

Le problème proposé admet donc une et une seule solution. Il ne peut, en effet, y avoir deux points différents D et D, tels que ABCD, ABCD, aient des rapports anharmoniques égaux : les rayons SD, SD„ devant tous les deux être parallèles à A'B', coïncideront. On peut dire aussi :

Si les groupes ABCD, ABCD, ont des rapports anharmoniques égaux, le point D, coïncide nécessairement ai^ec le point D.

Si deux groupes de quatre points ABCD, A'B'C'D' (respectivement en ligne droite) ont des rapports anharmoniques égaux, ils constituent des formes projectives.

En effet (n° 37), on peut toujours passer de la forme ABC à la forme A'B'C par un nombre limité de projections ou de sections; soit D" le point que ces opérations donnent à la place de D. Alors le rapport anharmonique de A'B'C'D" sera égal à celui de ABCD et, par suite, les rapports anharmoniques de A'B'C'D' et A'B'C'D" seront égaux entre eux. Donc D' coïncide avec D' ; ou bien les groupes ABCD, A'B'C'D' sont projectifs.

En d'autres termes, la condition nécessaire et suffisante pour que deux formes ABCD, A'B'C'D' (composées chacune de quatre points en ligne droite) soient projectives est l'égalité (en grandeur et en signe) de leurs rapports anharmoniques.

Le rapport anharmonique de quatre points ABCD est désigné par le symbole (ABCD) ('); par suite, la projectivité des

(•) MoBics, Der barycentrische Calcul, p. 246 (Leipzig, 1827).

RAPPORTS ANHARMONIQUES. 4?

deux formes ABCD, A'B'C'D' sera exprimée par l'équation

(ABCD):r.(A'B'C'D'}.

Si deux faisceaux de quatre rayons ou de quatre plans sont coupés respectivement par deux transversales en ABCD, A'B'G'D', l'égalité