OC-OA PB -OC OC + OA~ÔB + OC

OC lOB.

OA ~ OC ' donc

(3) Ôg' = OA.OB,

ce qui veut dire : La moitié du segment CD est moyenne proportionnelle entre les distances des points A f ^ B au milieu de CD.

L'équation (3) montre que les segments OA, OB ont le même signe, c'est-à-dire que le point 0 ne tombe jamais entre A et B.

(') MoBius, loc. cit., p. 269.

RAPPORTS ANHARMONIQUES,

Il résulte de là que, si l'on fait passer un cercle par A et B [fig. 35 OC sera la longueur de la tangente à ce cercle menée par le point 0 ('

Fig. 35.

Donc le cercle de diamètre CD coupera orthogonalement le premier cercle (c'est-à-dire tous les cercles passant par A et B). Béciproquement, si deux cercles se coupent à angle droit, ils couperont une droite quelconque passant par le centre de l'un des deux cercles en quatre points harmoniques {^).

La même formule (3) sert à résoudre le problème suivant : Étant donnés deux couples de points AB, A'B', déterminer un autre couple CD de manière que les deux groupes ABCD, A'B'CD soient harmoniques [fîg. 36 et 37).

Fig. 36.

Prenons un point quelconque G en dehors de la droite et décrivons les cercles GAB, G A'B' ; soit H leur second point d'intersection. Menons GH et soit 0 l'intersection de cette droite et de la droite donnée (^); nous aurons dans le premier cercle ( * )

et dans le second par suite