OA.OB = OG.OH, OA'.OB'^OG.OH; OA.OB = 0A'. OB

(') Baltzer, Planim., p. 128. *

(^) Baltzer, Trigonom., p. 146.

(') GH tisiVaxe radical àes deux cercles. Baltzer, Planim., p. i-

(*) Baltzer, Planim., p. 128.

et suiv.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE,

Donc 0 est le milieu du segment cherché ; les points CD seront les intersections de la droite donnée avec le cercle décrit de 0 comme centre avec un rayon égal à la longueur commune des deux tangentes menées de 0 aux deux premiers cercles.

Fiff. 37.

Le problème admet une solution réelle quand le point 0 tombe en deiiors des deux segments AB, A'B' et, par suite, en dehors des deux cercles [fig. 36 et 37 ). Il n'existe pas de solution réelle quand le couple de points AB est séparé par le couple A'B' [fg. 38) ; dans ce cas le point 0 se trouve à l'intérieur de deux segments.

Fig. 38.

A,B, C,D étant quatre points harmoniques, supposons A et B infiniment voisins ou même coïncidents. Si C est à distance infinie, D coïncidera avec A et B, puisqu'il doit être au milieu de ces deux points (n° 51). Si C est à distance finie et placé d'une manière quelconque, pourvu qu'il ne coïncide ni avec A ni avec B, l'équation (2) donne CD = CA — CB, c'està-dire que D coïncide avec les points A et B.

Supposons maintenant que A et G coïncident et que B soit à l'infini. A doit être le milieu du segment CD : donc D coïncidera avec A et G. Si B est à distance finie et placé d'une manière quelconque, pourvu qu'il ne coïncide ni avec A ni avec C, l'équation (i) donne AD = o, ce qui veut dire que le point D coïncide avec A et C.

RAPPORTS ANHARMONIQUES. 5r

Donc, si deux de quatre points harmoniques coïncident, un des deux (Uitres se confond aussi avec eux et le ciuatrième est indéterminé.

|P 56. Théorème. — Une forme quelconque [de première espèce) composée de quatre éléments A, B, C, D estprojective avec la forme que l'on déduit de la première, en changeant entre eux deux éléments et en changeant, en même temps, les deux autres éléments entre eux, Jinsi ABCD est projective avec BA€D. '^^M^C

Démonstration. — En effet, soient A, B, C, D quatre points ifig' 39), et EFGD une projection de ces points, faite à partir

Fig. 39.

d'un centre M sur une droite passant par D. Soit N l'intersection de AF et de CM, MNGC sera une projection de EFGD faite du centre A ; BADC sera une projection de MNGC faite du centre F; par conséquent (n« 35), la forme BADC est projective avec ABCD. On démontre, de la même manière, que ABCD est projective avec CDAB, DCBA (').

Il résulte de là, par exemple, que si le faisceau abcd de quatre rayons est projectif avec ABCD, il est projeciif aussi avec BADC, CDAB, DCBA; c'est-à-dire que, si deux formes de quatre éléments sont projectiles, la correspondance entre les éléments peut être établie de quatre manières différentes.

57. Le théorème qui précède revient à ceci : étant donnés quatre éléments A, B, C, D d'une forme de première espèce, les rapports anharmoniques suivants sont égaux entre eux :

(ABCD) ^ (BADC) = (CDAB) = (DCBA).

(•) Staudt, loc. cit., p. 59.

52 GÉOMÉTRIE FROJECTIVE.

Quatre éléments (d'une forme de première espèce) pourront être rangés de vingt-quatre manières différentes, ou bien forment vingt-quatre groupes