ABCD
nous aurons, d'après la formule (i),
{ABDC) = -,
et d'après la formule (2)
(ACBD) = 1-1;
d'où, d'après (1)',
(ACDB) - ' ,
et d'après (2)"
(ADCB) -i - ' = ^ :
et puis, d'après (i)"
et (2)',
(ADBC^ ^-' /.^
Si deux points A et B coïncident dans le groupe ABCD, on a
AC = BC, AD = BD, et par suite (ABCD) = (AACD) = r Mais, si X = I, les autres rapports anharmoniques deviennent (ACAD) =0, (ACDA) = oo;
(') MÔBlus, loc. cit., p. 249.
54 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
ce qui revient à dire : Jes valeurs que prend le rapport anharmonique de quatre éléments dont deux coïncident sont i, o, oo . Si ( ABGD) — — I, les formules précédentes donnent
(ACBD) -2, (ACDB)-i;
donc (n° 5i), si le rapport anharmonique de quatre points a l'une des valeurs i ou |, ces points, pris dans un autre ordre, forment un groupe harmonique.
58. Du théorème 53, qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour la projectivilé de deux groupes de quatre éléments, on conclut que :
Si deux formes (de première espèce) sont projectiles, quatre éléments quelconques de l'une d'elles et les quatre éléments correspondants de l'autre ont des rapports anharmoniques égaux [^).
En particulier, à quatre éléments harmoniques de l'un correspondent quatre éléments harmoniques de l'autre (n° 43).
59. Soient AA^ BB' deux couples quelconques de points correspondants de deux ponctuelles projectives [fig- ^o), et
Fig. /|0.
I, y leurs points à l'infini. Nous aurons l'égalité des rapports
anharmoniques
(ABIJ) = (A'B'rr),
ou
(BAJI)=::.(A'B'rJ'),
ou encore, parce que I et J' sont à l'infini (n° 53),
BJ:AJr=A riBT, d'où l'on lire
JA.rA'=:JB l'B',
(') Steiner, Sjstematische Entwickelung^ etc., p. 33 (Berlin, i832).
CONSTRUCTIONS DES FORMES PROJECTIVES. 55
ce qui revient à dire : le produit JA.I'A' a une valeur constante, quel que soit le couple de points correspondants (' ).
( Voir le n" 53, où ce théorème est démontré pour deux ponctuelles perspectives.)
§ X. — Constructions des formes projectives.
60. Soient ABC et A'B'C deux ternes d'éléments correspondants de deux formes projectives (fg. 4i)> Quel que soit
Fig. /ji.
le système d'opérations ( projections et sections) par lesquelles on passe de ABC à A'B'C; ce même système conduira aussi d'un autre élément quelconque D de la première forme à l'élément correspondant D' de la seconde. En effet, si D pouvait donner, au moyen de ces opérations, un autre élément D", les rapports anharmoniques (ABCD), (A'B'C'D") seraient égaux entre eux; mais on a, par hypothèse,
