ABCD)^(A'B'C'D

donc

(A'B'C'D')=:(A'B'eD'',;

par suite D'' coïncide ovec D' (n°53). Comme la même conclusion est vraie pour n'importe quel autre couple d'éléments correspondants, il est démontré que les deux formes sont projectives (n°34).

62. Du n° 60 on déduit, comme cas particulier, que si deux formes projectives de première espèce renferment deux ternes correspondants ABC, A'B'C qui soient perspectifs, les deux formes données sont aussi perspectives.

Par exemple, si les formes sont deux ponctuelles ABCD. . ., A'B'C'D'..., l'hypothèse faite revient à supposer que les droites AA', BB', CC concourent en un point 0 : donc les autres droites analogues DD',... passeront aussi par 0 [Jig. 17 et 33).

Comme cas particulier, supposons que les points AA' coïncident {Jîg. 9.0) en formant un point uni (•). Les ternes ABC,

(') Dans deux formes projectives, nous appellerons élément uni un élément qui coïncide avec son correspondant.

CONSTRUCTIONS DES FORMES PROJECTIYES. S'

A'B'C sont perspectifs, et leur centre de projection est le point commun à BB', CC; donc :

Si deux ponctuelles projectiles ont un point uni, elles sont perspectives.

Réciproquement, il est évident que deux ponctuelles perspectives ont toujours un point uni.

Si les formes sont deux faisceaux de rayons abcd..., a' h' c' d' . . , dans un même plan, l'hypothèse revient à supposer que les trois points aa\ bb'y ce' sont sur une droite s : donc tous les autres points analogues c?J^... tomberont aussi sur la même droite {fig. 18).

Si la droite s est tout entière à l'infini, on obtient la propriété suivante :

Si deux faisceaux projectifs de rayons ont trois couples de rayons correspondants parallèles, deux autres rayons correspondants quelconques seront aussi parallèles.

L'hypothèse est vérifiée si les rayons a, a' coïncident en un rayon uni {fig, 4^)' alors la droite 5 est celle qui joint les points bb\ ce' .

Fig.

Donc, si deux faisceaux projectifs [dans un plan) ont un rayon uni, ils sont perspectifs.

Et réciproquement, deux faisceaux perspectifs de rayons (dans un plan) ont toujours un rayon uni.

Si l'une des formes est une ponctuelle ABCD. . . et l'autre un faisceau de rayons abcd. . . {fig- îî5), l'hypothèse revient à supposer que les rayons abc passent respectivement par A, B, C ; donc d passera aussi par D, . . . , etc.

63, Deux ponctuelles peuvent se trouver sur une même droite, ou autrement dit elles peuvent être superposées : par

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

exemple, si deux faisceaux de rayons (dans un même plan) ^E^abc..., O^^a'b'c'... [Jig. 43) sont coupés par une même transversale, celle-ci contiendra les deux ponctuelles ABC..., A'B'C'..., qui seront projeclives si les deux faisceaux le

Fig. 43.

sont. On peut se demander, dans ce cas, s'il y a des points unis, c'est-à-dire si deux points correspondants des deux ponctuelles coïncident en quelque point de la transversale.

Si l'on mène, par exemple, la transversale s par les points aa' et bb', les points AA' coïncideront ainsi que BB'; il y a donc, dans ce cas, deux points unis. Si l'on projette une ponctuelle u {Jig. 44) de deux centres S, 0 (situés dans un même

Fig. 41.

plan avec u), on a deux faisceaux abc. ., a' b' c' . . ., et si ensuite on tire une transversale s pnr le point où le rayon uni aa' est rencontré par u, on obtient les deux ponctuelles projeclives superposées ABC..., A'B'C... qui ont un seul point uni AA'. Dans la suite (n" 82), nous verrons que deux ponctuelles projeclives superposées peuvent aussi n'avoir aucun point uni.

D'une manière analogue, deux faisceaux de rayons peuvent

CONSTRUCTIONS DES FORMES PROJECTIVES. 5o

être concentriques : c'est ce qui arrive quand on projette deux ponctuelles distinctes d'un même centre [fig. 45); deux

Fig. 45.

faisceaux de plans peuvent avoir même axe si l'on projette d'un même axe deux ponctuelles distinctes, etc. Ea coupant ëeux gerbes par un même plan, on obtient deux plans ponctuels superposés; en projetant deux plans ponctuels d'un même centre, on obtient deux gerbes concentriques. ])ans tous ces cas, les deux formes en question sont superposées ^ et la recherche de leurs éléments unis, si elles sont projeclives, a une grande importance.

64. Théorème. — Deux formes (de première espèce) projecjectives superposées ont, ou deux éléments unis au plus, ou tous leurs éléments unis.

Démonstration. — En effet, s'il y avait trois éléments unis A, B, C, en nommant D et D' deux autres éléments correspondants quelconques, on aurait (n" 58) l'égalité