ABCD):- (ABCD
et, par suite, D' coïnciderait avec D (n*' 53).
Donc, si les deux formes ne sont pas identiques, elles ne peuvent pas avoir plus de deux éléments unis.
65. Si une forme (de première espèce) composée de quatre éléments ABCD est projective avec une seconde forme déduite de la première par l'échange de deux éléments, par exemple avec BACD, je dis que la forme est harmonique et que les deux éléments échangés sont conjugués. Ce théorème est déjà renfermé dans le n° 54; mais nous pouvons en donner maintenant la démonstration graphique suivante.
6o GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
Supposons, par exemple, que A, B,C,D, soient quatre points en ligne droite {Jig./î6); soit KMQD une projection de ces points faite d'un centre quelconque L, sur une droite passant par D. ABCD est projective avec KMQD et avec BACD : donc
Fig. 46.
les formes KMQD, BACD sont projectives. Et, comme D est un point uni pour ces formes, elles sont perspectives ( n« 62 ), et les droites KB, MA, QC concourent au même point N. Il résulte de là que KLMN est un quadrangle complet dont deux côtés opposés concourent en A, deux autres côtés opposés concourent en B, tandis que le cinquième et le sixième côté passent respecaivement par C, D. Donc (n" 38) A, B, C, D sont quatre points harmoniques.
66. Comme le passage d'une forme à une autre forme projective (de première espèce) peut toujours être effectué au moyen du système d'opérations qui sert à déduire trois éléments de l'un des trois éléments correspondants de l'autre (n"* 60), et comme deux groupes donnés de trois éléments sont toujours projectifs, c'est-à-dire peuvent toujours être déduits l'un de l'autre moyennant quelques projections et sections, nous pouvons conclure :
Trois couples d'éléments correspondants de deux formes projectiles étant donnés arbitrairement, on peut construire autant d'autres couples d'éléments correspondants que l'on veut.
Nous donnerons deux exemples : l'un de deux ponctuelles, et l'autre de deux faisceaux de rayons; il est entendu que, dans l'un et l'autre cas, les deux formes sont dans un même plan.
CONSTRUCTIONS DES FORMES PROJECTIVES
Soient (/i^47) Aet A', BetB', C et C les trois couples donnés de
Soient [fig. 48) « et a' , h et b\ c et c' les trois couples donnés de
Fig. 47.
points correspondants des ponctuelles projectives u, a' qu'il s'agit de construire. Opérons comme nous l'avons fait au n" 37 ; sur la droite qui joint deux points correspondants, par exemple AA', prenons arbitrairement deux points S, S'; traçons SB, S'B' qui se coupent en B", et se, S'C'-qui se coupent en C".
Soit ensuite A" le point où AA' coupe B"G". Les opérations qui servent à passer de ABC à A' B' C sont : 1° la projection à partir de S; 2° la section par u"= A"B"C"; 3° la projection à partir de S' ; 4** la section par u'. Donc les mêmes opérations conduiront d'un autre point quel-
rayons correspondants de deux faisceaux projectifs U et U' qu'il s'agit de construire. Par le point commun à deux rayons correspondants, par exemple aa\ menons arbitrairement deux transversales s et s'\ soient b" la droite qui joint les points sb^ s'b'; c" la droite qui joint les points se, s'c'; et a" la droite qui joint les points aa' et b"c". Les opérations qui servent a passer de abc à a'b' c' sont : 1° la section par s; 2° la projection à partir du point U" commun à a"b" c" ; 3° la section par s' ; 4° la projection à partir de U'. Donc les mêmes opérations conduiront d'un
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
conque D de a au point correspondant de II'] ou bien les rayons SD, S'D' doivent se couper en un point D" de Ja droite fixe a".
De cette manière, on obtient une ponctuelle u" ^ A"B"C"D"..., perspective avec II aussi bien qu'avec a'.
Le rayon passant par S [Jlg. 47) et parallèle à u coupe a" en I", le rayon S'I" coupera a' au point I' dont le correspondant sur a est à l'infini. De la môme manière, si le rayon passant par S', et parallèle à u' coupe II" en J", le rayon SJ" coupera u au point J, dont le correspondant sur u' est à l'infini.
autre rayon quelconque d du faisceau U au rayon correspondant d' du faisceau U'; ou bien les points.yr/, s'd' doivent se trouver sur une droite d" passant par le point fixe U". De cette manière, on obtient un faisceau U" ^ a"b"c"d"...^ perspectif avec U aussi bien qu'avec U'.
Soit P [fig. 47) le point où u est ' coupé par u"\ le point P'sera l'intersection de u' avec le rayon S' P.
De même, si Q' est le point où u' est coupé par u\ le point Q sera celui où a est coupé par le rayon SQ'.
67. Les centres S et S' doivent être alignés sur deux points correspondants ; du reste, ils sont arbitraires. Par exemple, nous pouvons mettre S en A' et S' en A [fig. 49). Alors le rayon S'P coïncide avec a et, par suite, P' devient le point \ commun à a et u'. De même, le rayon SQ' coïncide avec a' et Q ' tombe aussi au point nu' .
Autrement, si nous [prenons les 1 points A', A au lieu des centres S, S', | la droite u" rencontiera respectivement u et a' aux points P, Q' qui correspondent au point ua'^ considéré d'abord comme point P' de w', puis comme point Q de u.
JMais, dans la construction du numéro précédent, la droite a" était
Appelons p [Jïg. 48) le rayon UU" : le rayon correspondant // joindra U' au point s' p. De même aussi, si le rayon U'U" est désigné par ry', le rayon q joindra U au point sq' .
Les transversales .y, s' doivent passer par le point commun à deux rayons correspondants; du restf, elles sont arbitraires. Par exemple nous pouvons prendre d pour s et <îpour,y' [Jig. 5o). Alors le point s'p coïncide avec U ; par suite p' sera la droite UU'. De même, le point sq' coïncide avec U' et, par suite, q ne diffère pas de la droite UU'.
Autrement, si nous prenons les rayons a\ a au lieu des transversales .y, s'b, le point U"sera l'intersection des rayons />>, q' qui correspondent à UU', considérée d'abord comme rayon/;' du faisceau U', puis comme rayon q du faisceau U.
Mais, dans la construction du numéro précédent, le point U" était le
CONSTRUCTIONS DES F0R3IES PROJECTIVES. 63
le lieu des intersections des rayons ' centre de projection pour les ponccorrespondants des faisceaux per- \ tuelles perspectives
^P^^^'^ I 6{^ïbcd...), s'{a'b'c'd'...).
S(ABCD...), S'(A'B'C'D'...). . Doncle point U" que nous venons Donc la droite u" que nous venons \ d'obtenir sera pareillement le centre
FÎEf- f\9'
Fig. 5o.
d'obtenir sera pareillement la section commune des faisceaux
A'fABCD.
AfA'B'C'D'.
c'est-à-dire le lieu des points où se coupent les couples^'de droites A'B et AB', A'C et AC, A'Det AD'
Si, au lieu des points A' A nous prenions comme centres de projection deux autres points comme B' et B, ou G' et G, . . . , la droite u" devrait encore couper a et u' aux points P, Q', c'est-à-dire que la droite n" resterait la même. Donc :
SiABCMN..., A'B'G'...M'N'...
sont deux ponctuelles projectives (dans un même plan) tous les couples de droites analogues à MN', M'N se coupent en des points qui appartiennent à une droite fixe.
Cette droite passe par les points
de projection des ponctuelles
a' [abcd. . .), a [a' b'c'd' . . .),
c'est-à-dire le point commun aux droites qui joignent les couples de points a'b et <-///, a' c et ac\ a' d et
ad
Si, au lieu des rayons «',«, nous prenions comme transversales deux autres rayons comme b' et £», ou c' et r, . . . , le point U" serait encore l'intersection des rayons />>, </', c'està-dire que le point U" resterait le même. Donc :
Si abc.mn...^ a' b'c' ... m' n . . .
sont deux faisceaux projectifs de rayons (dans un même plan), les droites qui joignent les couples de points analogues à /««', m' n passent toutes par un point fixe, qui est l'intersection des rayons qui corres-
des deux ponctuelles qiii correspondent à leur point d'intersection.
68. Ce théorème, limité aux trois couples de points A A', BB', CC, qui sont, du reste, complètement arbitraires, peut s'énoncer ainsi :
Si un hexagone AB'CA'BC i^g^ 5i) a ses sommets d'ordre impair sur une droite u, et ses sommets d'ordre pair sur une droite u', les trois couples de côtés opposés (AB'et A'B, B'G et BC, CA' et AC) se coupent en trois points situés sur une droite u" (').
Fig. 5i.
69. Si les deux ponctuelles u, u' sont perspectives [fg. 53), les points P et Q' coïncident avec le point 0 commun aux deux droites ; alors AA'BB' est un quadrangle complet, dont les points diagonaux sont 0, S. (point de concours de AA' BB'.. .), et M (intersection de AB' et A'B); par suite (n*» 49) les droites u, u' sont séparées harmoniquement par les droites u" et OS.
Donc:
pondent à la droite qui joint les centres des deux faisceaux.
Ce théorème, limité aux trois couples de rayons aa\ bb\ cc\ qui sont, du reste, complètement arbitraires, peut s'énoncer ainsi :
Si un hexagone ab' c a b c' [fig. 5i) est tel que ses côtés d'ordre impair concourent en un point U, et ses côtés d'ordre pair en un point U', les droites qui joignent les trois couples de sommets opposés [ab' et a'b, b' c et bc\ ca' et a'c) passent par un même point U".
Fig. 52.
Si les deux faisceaux U et U' sont perspectifs [fg. 55) les rayons p et 7' se confondent avec la droite UU'; alors aa'bb' est un quadrilatère complet, dont les diagonales sont UU', s (section commune des deux faisceaux) et m (qui joint les points <'///, a'b)\ par suite (n° 48) les points U, U' sont séparés harmoniquement parle point U" et la droite v. Donc :
(*) Pappus, loc. cit., liv. VII, p. iSg.
CONSTRUCTIONS DES FORCES PROJECTIYES
Si deux transversales u, u' cou- I Si une ponctuelle est projetée de
pent un faisceau de rayons «, b,c,... \ deux points U et U' par les rayons
aux points (A, A'), (B,B'), (G, C'),..., | {«, «'), [b, b'), [c, c'),.../les
les points où se coupent les couples I droites qui joignent les couples de
Fig. 53. /
de droites AB' et A'B, AC'et A'C, BC et B'C,. . . tomberont sur une môme droite u" passant par le point uu' ; et les droites «, u' seront séparées harmoniquement par la droite u" et le centre du faisceau.
On déduit de là la solution du problème :
Tracer la droite qui joint un point donné M au point de concours inaccessible de deux droites données //, a' .
Par M [fig. 53 et 54) menons
Fig. 54.
deux droites qui coupent u en A, B, et lî en B', A'; du point S 011 se
points [ab',a'b), [ac'^a'c), [bc', b'c),... concourent en un même point U" qui, avec la droite s^ divise harmoniquement UU'.
On déduit de là la solution du problème :
Construire le point d'intersection d'une droite tracée m et d'une droite non tracée, mais déterminée par deux points donnés U, U'.
Sur m [fig. 55) prenons deux
points qui, joints à U, donnent les droites ^, ^, et, joints à U', les
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
coupent A A' et BB', menons une | autre droite qui coupe u, u' en C, ' C. Le point N commun aux deux !
droites BC, B'C appartiendra à la : droite donnée u". \
droites b\ «'; sur la droite s qui
joint les points aa\ bh\ prenons un troisième point qui, joint à U,U', donne les droites c, c' . La droite n qui joint les points l)c\b' c coupera i m au point cherché U".
Si les droites u, u' sont parallèles (/«•. 54), la construction précédente résout le problème :
Étant données deux droites parallèles, tracer, au moyen de la règle seulement, la droite parallèle aux droites données qui passe par un point donné.
70. Revenons à la construction du n° 66 (à gauche) et prenons comme centre S le point où AA' est coupé par BB', et comme centre S' le point commun à AA', Q£'{fig. 56).
Alors la droite u" sera la droite B'C, parce que les rayons SB, S'B' se coupent en B', et les rayons SG, S'C en C. Par suite, on construira un autre couple quelconque de points correspondants D,D', en observant que les droites SD, S'D' doivent concourir sur B'C.
Fi!T. 56.
Revenons à la construction du if 66 (à droite), et prenons comme transversale s la droite qui joint les points an\ ce', et comme transversale s' la droite qui joint les points cm', bb' [fig. 57). Alors le point U" sera l'intersection bc', parce que b joint les points sb, s'b', et c' les points se, s'c'. Par suite, on construira un autre couple quelconque de rayons correspondants d, d', en observant que les points 5<:/, s' d' doivent être en ligne droite avec b e' .
Fig. 57.
En considérant la/g-.SS'GDD'B'
qui est un hexagone, nous pouvons énoncer ce théorème :
Dans un hexagone, dont les eôtés
En considérant la T?^. .ç^'^<'/^'c' qui est un hexagone, nous pouvons énoncer ce théorème :
Dans un hexagone, dont les sont-
CONSTRUCTIONS DES FORMES PROJECTIVES
sont deux ponctuelles projectives, et les droites qui joignent quatre couples des points correspondants, les trois droites qui joignent deux à deux les sommets opposés concourent en un même point.
71. Dans la solution du problème du n° 66 (à gauche), si les trois droites AA', BB', CC avaient un point commun S (si A , A' coïncidaien t par exemple), les deux ponctuelles seraient perspectives, et il suffirait de tirer des rayons par S pour obtenir tous les couples de points correspondants [fig. 17).
mets sont les centres de deux faisceaux projectifs et les intersections de quatre couples des rayons correspondants, les trois points où se coupent deux à deux les couples de côtés opposés sont en ligne droite.
Si les trois points aa'^ bh' ^ ce' du n° 66 (à droite) étaient sur une même droite .y (si <?, a' coïncidaient par exemple), les deux faisceaux seraient perspectifs, et il suffirait de joindre les centres des deux faisceaux à chaque point de s pour ob tenir tous les couples de rayons correspondants [fg. 18).
72. Si les deux ponctuelles «, u [no 66 à gauche) sont superposées, c'est-à-dire si les six points donnés AA'BB'CC sont sur une même droite [Jlg. 58), il faut commencer par projeter u' d'un centre arbitraire S' sur
Fig. 58.
une droite quelconque «,, puis opérer sur les ponctuelles u -- (ABC... ), u^= ( A, B,GjD^...), c'est-à-dire sur les couples dépeints (A, A,), (B.B,), (C, C,) de la manière indiquée au n° 66. Un couple de points correspondants D, D, des ponctuelles u, «, étant trouvé, le rayon S' D, déterminera sur u' le point D' correspondant à D.
La construction se simplifie si deux points correspondants A, A' coïn-
cident [fig. Sg) ; alors, menant u^ par A, la ponctuelle ii^ est perspective avec u ; par conséquent, après avoir projeté id du centre arbitraire S' sur
Fig. 59.
/<,, si BB,, ce, se coupent en S, il suffira de projeter u de S sur w,, et ensuite «, de S' sur u! .
Les deux ponctuelles projectives superposées u^ u' ont un second point uni à l'intersection de la droite donnée et du rayon SS' ; le premier est AA'.
Donc, si le rayon SS' passe par le point w^/,, les deux ponctuelles projectives II, II' auront un seul point uni. Si l'on voulait construire sur une droite donnée deux ponctuelles projectives superposées, pour lesquelles AA' soit un couple de points correspondants, et M le seul point uni [fg. 59 bis)^ il faudrait projeter d'un point quelconque S' le point A' en
A, sur la droite «, menée arbitrairement par M ; construire le point S commun à AA,, S' M; puis, pour trouver le point B' de u' correspondant à un point B de m, projeter B de S en B,, et B, de S' en B'.
Si deux faisceaux U, U' (n" 66 à droite) doivent ôtre superposés, c'està-dire si les six rayons &onné?> aa' bb' ce' passent par un même point, on commencera par couper n'b'c' par une transversale et projeter les points d'intersection d'un centre quelconque U,. Si les rayons projetants sont «,, 6,,<?,, nous aurons à considérer les deux faisceaux non superposés U, U,.
Nous pourrons aussi couper abc par une transversale en ABC, et a'h'c' par une autre transversale en A'B'C, puis opérer sur les deux ponctuelles ABC. . ., A'B'C. . . de la manière exposée plus haut.
Nous ne donnons pas les figures qui correspondent à ces constructions, afin que l'élève les fasse lui-même : c'est un exercice utile. On obtiendrait encore ici une notable simplification si, parmi les rayons donnés, il y en avait un uni ; si , par exemple, a et a' se confondaient en un seul rayon, etc.
§ XI. — Cas PARTICULIERS ET EXERCICES.
73. On dit que deux ponctuelles sont 5em6/«6/e5 quand aux points A, B, C, D,... de l'une d'elles correspondent des points de l'autre A', B', C, D',..., tels que le rapport de deux segments correspondants ABetA'B', AC et A'C',... soit un nombre constant. Si ce nombre est V unité, les ponctuelles sont dites ^g-«/e^.
Deux ponctuelles semblables sont projectives, parce que tout rapport anharmonique, (ABCD) par exemple, sera égal à son correspondant (A'B' CD'). Autrement, supposons les deux droites dans un même plan {Jlg, 60), et désignons leur point
Fig. 60.
commun par P' si on le considère comme appartenant à u', et par Q si on le considère comme appartenant à u. Soient ensuite A A' un couple quelconque de points correspondants; P le point de u qui correspond à P' ; Q' le point de u' qui correspond à Q. Menons AA'' parallèle à u' et A' A'' parallèle à u. Dans les triangles PQQ', PA A'', les angles en Q, A sont égaux et compris entre des côtés proportionnels, en vertu de l'hypothèse
