AC A^ BC~B'L

équation qui exprime précisément la proportionnalité des segments correspondants.

Exemple!;. — En coupant un faisceau de rayons (dont le contre soit à distance finie) par deux transversales parallèles, on obtient deux ponctuelles semblables.

Deux sections quelconques d'un faisceau de rayons parallèles sont des ponctuelles semblables.

Dans ces deux exemples, les ponctuelles sont aussi perspectives; le point uni est à distance infinie dans le premier cas, et à distance finie (en général) dans le second.

75. Deux faisceaux projectifs de rayons, dont les centres sont l'un et l'autre à l'infini, sont dits semblables, si une section de l'un est semblable à une section de l'autre. Alors deux autres sections quelconques des deux faisceaux seront aussi semblables entre elles.

76. De l'égalité des rapports anharmoniques on conclut que deux ponctuelles égales sont projectives (n" 61), et que, vice versây deux ponctuelles projectives sont égales {n« 53) si les segments correspondants compris entre les points de deux ternes correspondants ABC et A'B'C sont égaux, c'est-à-dire si l'on a A'B' .=: AB, A' C = AG ( d'où il résulte que WC = BC j.

Exemples. ~ Si l'on coupe un faisceau de rayons parallèles par deux transversales également inclinées sur les rayons, on obtient deux ponctuelles égales.

Si l'on coupe un faisceau de rayons (non parallèles) par deux transversales parallèles et également distantes du centre du faisceau, on obtient deux ponctuelles égales.

77. Deux ponctuelles semblables superposées, ayant déjà un point uni

N à distance infinie, en ont encore un autre M qui est généralement à

distance finie. Si AA, BB' sont deux couples de points correspondants, on

aura

MA : MA = AB: A'B' = const.

Il suffira donc de diviser le segment AA' en deux parties MA, MA ayant entre elles un rapport donné.

La fraction MA : MA est (n° 53) le rapport anharmonique (AA'MN). Si sa valeur est — i,- le groupe AA'MN sera harmonique (n" 54), c'eslà-dire que M sera le point milieu de AA' ainsi que de tout autre segment analogue BB',. . . ; cela revient à dire que les deux ponctuelles se composent des couples de points équidistants d'un point fixe M.

Mais si ce rapport constant est égal à -h i, c'est-à-dire si MA et MA' doivent être égaux de grandeur et de signe, le point M sera à l'infini. En effet, puisque (AA'MN) = i, on a (NMA'A) = i (n° 56); par suite (n° 57) les points M et N se confondent.

Il résulte aussi de la construction du n° 72 [J/g. 69 bis) que deux ponctuelles projectives superposées, ayant un seul point uni à l Infini, sont égales. Si le point M passe à l'infini, les droites SS', A,B, deviennent parallèles à la droite donnée u ou u [fig. 69 ter)., et comme les triangles SA,B,, S'A,B, ont une base commune, parallèle à la droite des sommets, les segments qu'ils interceptent sur une parallèle quelconque à la base

7^ GÉOMÉTRIE TROJECTIVE.

sont égaux ; donc AB = A'B'; ou bien deux segments correspondants sont égaux ; par suite AA'— BB',. . . , c'est-à-dire le segment intercepté entre

deux points correspondants est constant. On peut donc supposer que les deux ponctuelles sont engendrées par un segment AA' donné de grandeur et de direction, qui court sur une droite donnée : l'une des extrémités A du segment décrit l'une des ponctuelles, l'extrémité A' décrit l'autre ponctuelle.

Fice versa, il est évident que, si un segment AA' donné de grandeur et de direction court sur une droite donnée, ses extrémités A et A' décrivent deux ponctuelles égales et par suite projectives, douées d'un seul point uni, qui sera à distance infinie.

78. On dit que-deux faisceaux de rayons sont égaux quand aux éléments de Tun correspondent respectivement les éléments de l'autre, de telle manière que l'angle de deux éléments quelconques de la première form& soit égal à l'angle des éléments correspondants.

Il est évident que l'on peut toujours couper deux faisceaux égaux par deux transversales, de manière que les ponctuelles résultantes soient égales; mais deux ponctuelles égales sont toujours projectives : donc aussi deux faisceaux: égaux sont toujours projectifs.

Fice versa, deux faisceaux projectifs de rayons abcd..., a'h' c' d'.., sont égaux quand trois rayons «, b, c de l'un et les trois rayons correspondants a', b', c' de l'autre forment deux figures égales : cela peut se démontrer en coupant les deux faisceaux par deux transversales, de manière que les sections ABC, A'B'C des groupes abc, a' b'c' soient égales. Les ponctuelles projectives qui en résultent sont égales (n° 76) et, par suite, les autres angles correspondants ad et a' d' , . . . des faisceaux proposés sont aussi égaux entre eux.

79. Deux formes (ponctuelles ou faisceaux) égales étant toujours projectives, nous pouvons conclure que, si l'on transporte dans l'espace une ponctuelle ou un faisceau sans altérer la position relative de ses éléments, cette forme dans sa nouvelle position sera projective avec la même forme dans sa position primitive.

80. Deux faisceaux égaux de rayons abcd..., a'b'c'd'... étant donnés dans un plan, si un rayon de l'un des faisceaux lourneautour de son centre en décrivant le faisceau lui-même, le rayon correspondant décrira l'autre faisceau en tournant dans le même sens ou en sens opposé. Dans le premier cas, on dit que les deux faisceaux sont directement égaux ^ et dans le second qu'ils sont inversement égaux.

Dans le premier cas, il est évident que les angles aa' , bb', cc\. . . sont tous égaux (en grandeur et en signe). Par suite, deux rayons correspondants seront toujours parallèles ou ne le seront jamais.

Dans le second cas, deux angles correspondants sont égaux en grandeur, mais de signe opposé. Par suite, si l'on transporte l'un des faisceaux parallèlement à lui-même, de manière à faire coïncider son centre avec celui du second faisceau, les bissectrices des angles de deux rayons correspondants «, a' seront évidemment les rayons unis des deux faisceaux superposés <|ui sont encore projectifs (n° 79); d'où il suit que ces rayons seront aussi les bissectrices des angles d'un autre couple quelconque de rayons correspondants. Donc, si l'on suppose de nouveau que les faisceaux ne soient pas concentriques, ils ont deux couples de rayons correspondants parallèles; et, dans chaque faisceau, ces deux rayons sont perpendiculaires entre eux, puisqu'ils ont les directions des bissectrices des angles d'un couple quelconque de rayons correspondants.

81. Si deux faisceaux de rayons abcd..., a'b'c'd'... sont projectifs et si les angles aa', bb\ ce' de trois couples de rayons correspondants sont égaux et de même sens, l'angle d'un autre couple quelconque dd' de rayons correspondants aura aussi la même grandeur et le même sens. En effet, transportons le premier faisceau parallèlement à lui-même jusqu'à ce qu'il soit

74 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

concentrique au second, et faisons-le tourner ensuite autour du centre commun d'un angle égal haa'; les rayons a, 6, c coïncideront respectivement avec les rayons «', b' , c', et les deux faisceaux, qui n'ont pas cessé d'être projeciifs (n" 79), auront trois rayons unis et, par suite (n° 64), tout autre rayon coïncidera de même avec son correspondant. En remettant ensuite le premier faisceau dans sa position primitive, l'angle dd' sera égal à aa'.

82. Les angles aa', hb' , cc\. . . de deux faisceaux directement égaux étant égaux entre eux, il s'ensuit que deux faisceaux directement égaux et ayant le même centre 0 peuvent être regardés comme engendrés par la rotation d'un angle aa\ de grandeur invariable, autour de son sommet lixe 0 ; l'un des côtés a engendre l'un des faisceaux, l'autre côté a' engendre l'autre faisceau.

Vice versa, si un angle de grandeur invariable tourne autour de son sommet, ses deux côtés engendrent des faisceaux (directement) égaux et, par suite, projectifs. Il est évident que ces faisceaux projectifs n'ont aucun rayon uni.

Une transversale qui coupe ces deux faisceaux détermine deux ponctuelles projectives superposées et n'ayant pas de points unis.

On pourrait répéter, sans aucun changement, pour deux faisceaux de plans dans l'espace à trois dimensions, ce qui a été dit aux n'^' 78-81 pour deux faisceaux de rayons contenus dans un même plan.

83. Projetons de deux points différents U, U', au moyen des faisceaux abc. . . , a'b'c' . . . , les ponctuelles projectives ABC. . . , A'B'C. . . superposées sur une môme droite. Soient /,/ les rayons parallèles à la droite donnée qui passent respectivement par U, U', et i' J leurs rayons corresj)ondants. Les points I', J où ces deux derniers rayons coupent la droite donnée seront les points qui correspondent au point à l'infini ( I ou J') de la droite donnée, suivant que l'on considère ce dernier comme appartenant à la ponctuelle ABC... ou comme appartenant à la ponctuelle A'B'C...

La projectivité des deux groupes correspondants nous donne (n" 59) une égalité entre les rapports anharmoniques, d'où l'on tire

(i) JA.rA'=JB.l'B'=const,

c'est-à-dire que le produit JA.I'A'est une quantité constante, quel que soit le couple AA'. Soient 0 le point milieu du segment Jl', et 0' le point qui correspond à 0, regardé comme point de la première ponctuelle. Comme l'équation (i) subsiste pour tout couple de points correspondants et, par suite, pour 00', nous aurons

(2) JA.l'A'- JO.1'0', ou bien

(OA - oj) (OA'-oi') -f-oj (00'-- or) - o,

et comme

or - - OJ,

nous avons aussi

(3) OA.OA' - or (OA - OA'-f- 00') - o.

Demandons-nous maintenant s'il existe des /x;//?;^ unis; appelons E un tel point : l'équation précédente aura lieu en remplaçant A et A' par E ; donc

(4) ÔË'---Or.OO'.

D'où il résulte que, si Or.OO' est positif, c'est-à-dire si 0 ne se trouve pas entre I,etO', il y a deux points unis E, F, dont 0 est le point milieu et qui divisent harmoniquement les points r, 0' (n° 5o).

Si 0 se trouve entre r et 0', il n'y a pas de points unis.

Si 0' coïncide avec 0, il y a un seul point uni qui est le point 0 luimême.

Imaginons que les deux ponctuelles soient décrites chacune par un point se mouvant toujours dans le même sens ('). Si l'une est parcourue dans le sens ABC, Fautre sera parcourue dans le sens A'B'C, qui sera ou égal ou opposé au premier.

Si les sens ABC, A'B'C sont opposés, IJA, r J'A' seront aussi de sens opposés; il en sera de même du segment fini JAetdu segment infini rA', c'est-à-dire que les segments finis JA et r A' ont le même sens. En vertu de Féquation (2) JO, rO' auront alors le même sens ; donc 0 ne tombe pas entre r et 0' [flg. 61, a)\ par suite il y a deux points unis. Comme OE est moyenne proportionnelle entre Or, 00', les points unis tomberont en dehors du segment fini jr.

Si les sens ABC, A'B'C sont égaux, on arrive, de la même manière, à cette conséquence que JA et rA', ainsi que JO et rO', sont de sens opposés. Alors il y aura des points unis si 0 n'est pas entre rO'^ c'est-à-

(*) Voir Steiner, Îoc. cit., p. 61.

70 GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.

dire si 0' est entre 0 et F [fig. 6i, h]. Comme OE est moyenne proportionnelle entre 01', 00', les points unis tomberont dans l'intérieur du segment JF.

Fig. 6..

ti'

Supposons qu'il y ait deux points unis EF [fg.(Si) ; menons par E une droite quelconque et de deux points S, S' pris sur cette droite projetons respectivement les deux ponctuelles. Les deux faisceaux sont perspectifs à cause du rayon uni SES'; par suite, les rayons correspondants

Fig. 6'2.

SA et S'A', SB et S'B',. . ., SF et S' F' se couperont en des points situés sur une droite passant par F.

Soit E" le point où cette droite coupe SS' ; alors EFAA', EFBB' seront respectivement les projections de EE"SS' faites des centres A", B"; donc les groupes EFAA', EFBB' seront projectifs; ce qui revient à dire que le rapport anharmonique du groupe formé par les deux points unis et par deux points correspondants quelconques est constant. Donc :

Deux formes prnjectives superposées^ douées de deux éléments unis y sont composées de couples d'éléments qui, avec deux éléments fires^ donnent un rapport anharmonique constant (').

S'il n'y a pas de points unis, c'est-à-dire si 0 se trouve entre 0' et 1' [fig. 63), élevons en Oune perpendiculaire OU à la droite donnée, telle que OU soit moyenne proportionnelle entre FOet 00', c'est-à-dire que l'angle FUO' soit droit. En outre, menons par U la droite lUJ' parallèle à la droite donnée, l'angle lUl' sera égal à l'angle JUJ', l'angle OUO' égala

(') La construction qui précède résout le problème : étant donnés deux couples de points correspondants A A', BB' et un point uni E, trouver l'autre point uni.

l'angle OI'U et, par suite, à lUI'. Donc, dans les deux faisceaux projectifs, qui projettent les deux ponctuelles données à partir de U, les angles lUF,

Fig. 63.

Il'

JUJ', OUO' de trois couples de rayons correspondants sont égaux ; les angles AUA', BUB' .. . (n°81) sont aussi égaux et de même sens ('). Donc :

On peut toujours considérer deux ponctuelles projectiles superposées sans points unis comme engendrées par les intersections de la droite donnée avec les côtés dhin angle de grandeur constante qui tourne autour de son sommet.

84. Nous avons vu ( n" 66 ) comment on résout en général le problème : étant donnés trois couples d'éléments correspondants de deux formes (de première espèce) projectives, construire autant de couples que l'on veut, ou bien construire l'élément d'une forme qui correspond à un élément donné de l'autre. L'élève studieux pourra s'exercer à résoudre les cas particuliers suivants :

1° On supposera que les deux ponctuelles m, u' ne soient pas superposées et que les couples d'éléments donnés soient

P et F,

Q et Q'(^),

A et A'

P et P',

A et A',

B et B'

I et r.

J et J',

P et P',

I et r.

J et J',

A et A'

I et r,

P et P',

Qet Q'

I et r,

P et F,

A et A'

I et r,

A et A',

B et B'

11' Si les ponctuelles sont superposées, résoudre les problèmes [d] et {gY

'(•) Chasles, loc. cit., p. iig.

(*) P, P', Q, Q', I, r, J, J' ont les significations données au n^ 66. A, B, sont des points donnés arbitrairement.

78 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

3° Si les formes sont deux faisceaux (de rayons) non concentriques, résoudre les problèmes corrélatifs à («) et {b).

4° On supposera que l'un des faisceaux ail son centre à l'infini.

5° On supposera que les deux faisceaux aient leurs centres à l'infmi.