On peut aussi démontrer le théorème suivant

Si les trois sommets A'^A*A"''d'un triangle variable parcourent trois droites fixes «, «', u" qui concourent en un point, et si deux de ses côtés A' A", A"A tournent respectivement autour de deux points fixes 0 0', le troisièm3 côté AA' passera aussi par un point fixe 0", situé sur la droite 00'.

Il suffira de démontrer que les points A, A', A" décrivent dans leur mouvement trois ponctuelles perspectives deux à deux ; ou bien, on observera que l'on peut appliquer le théorème dun° l^à deux positions du triangle variable.

Ce théorème établi, on en déduit immédiatement le corollaire suivant : si les sommets d'un quadrangle variable A A' A" A'" parcourent quatre droites fixes qui concourent en un point 0, pendant que trois côtés AA', A' A", A" A'" tournent autour de trois points fixes C, B'", B', le quatrième côté A'" A et les diagonales AA", A' A'" passeront par trois autres points fixes C", C", B" déterminés parles trois premiers. Les six points fixes sont les sommets d'un quadrilatère complet, ce qui revient à dire qu'ils sont alignés trois à trois sur quatre droites (7?^. 04).

On conclut de la même manière le corollaire analogue, relatif à un polygone de n sommets.

86. Théorème. — Si un triangle 0,0^03 est circonscrit à un triangle U, U^Uj, // existe une infinité de triangles inscrits au second et circonscrits au premier [fig. 65 ).

En effet, en projetant la ponctuelle U^U . . . de 0^ et de 0,, nous au-

rons les faisceaux perspectifs

de même, si nous projetons la ponctuelle U, U3 de 0, et de O3, nous aurons les faisceaux perspectifs

Donc les faisceaux

sont projectifs; mais les rayons O.Ug, O^Uj coïncident, ces deux faisceaux sont donc perspectifs et leur commune intersection est U, U.^, Nous avons

ainsi les trois faisceaux 0,, Oj, O3 qui sont perspectifs deux à deux et ont pour sections communes

Le premier et le deuxième, la droite U,U.^, Le deuxième et le troisième, la droite U2U3, Le troisième et le premier, la droite U3U, .

Ce qui revient à ceci, que tout terne de rayons correspondants formera un triangle circonscrit à 0,0^03 et inscrit à UjU^Ug (').

87. Théorème. — Une droite mobile aiitoiu- cVun point fixe U coupe deux droites m, m' aux points A, A'; deux points S, S' en ligne droite Œ>ec uu' étant donnes, V intersection M des droites SA, S'A' décrit une droite (^).

(') Steiner, loc. cit., p. 85.

(*) Pappus, loG. cit., Liv. VII, p. i23, 189; i/ji, i\Z. — Cfr Chasles, hc. cit.

8o GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Ce théorème se démontre, en remarquant que les points A, A' engendrent deux ponctuelles pi^ectives et que, par conséquent, les faisceaux engendrés par les rayons mobiles SA, S'A' sont perspectifs (n"" 3o et 62).

Nous proposons aussi de démontrer le théorème corrélatif.

88. Théorème. — U, S, S' sont trois points donnés en ligne droite; une transversale qui rencontre deux droites fixes u, u' en deux points AA' tourne autour de\}] le point M commun aux droites SA, S'A' engendre une droite passant par le point uu' ( ' ).

La démonstration est analogue à celle du théorème précédent.

Ce théorème peut aussi s'énoncer comme il suit :

Si les côtés d'un triangle variable A A' M tournent autour de trois points fixes U, S, S', situés en ligne droite, pendant que deux de ses sommets parcourent deux droites fixes u, m', le troisième sommet M décrira aussi une droite (^).

On peut démontrer de la même manière l'énoncé plus général :

Si un polygone de n côtés se déforme de manière que tous ses côtés passent par autant de points fixes, tous en ligne droite, pendant que n—i sommets parcourent des droites fixes, le dernier sommet et le point de concours de deux côtés non consécutifs quelconques décriront aussi des lignes droites ( ' ) .

La proposition corrélative est indiquée au n° 85.

89. Problème. — Par un point P donné dans le plan d'un parallélogramme ABCD, mener, au moyen de la règle seulement, la parallèle à une droite EF située dans le même plan.

Soient [fig. 66) E, F les points où la droite donnée rencontre les côtés

AB, AD; prenons arbitrairement un point K sur AC, tirons EK, FK qui coupent respectivement CD, BC en G, H. Les triangles AEF, CGH sont

(') Chasles, loc. cit., nO 334.

(«) Porisme d'EucLiDE. Cfr. Pappus, loc. cit., préface du Livre VII.

(») Porisme de Pappcs, loc. cit., préface du Livre VII.

homologiques (n° 16), parce que les droites AC, EG, FH concourent en K • l'axe d'homologie est la droite à l'infini, parce que les côtés AE, AF du premier triangle sont respectivement parallèles aux côtés correspondants du second. Donc les autres côtés EF, GH sont aussi parallèles ( ' ).

Le problème est ainsi ramené à un autre problème déjà résolu (n" 69) : Étant données deux parallèles EF, GH, mener par un point P une parallèle aux droites données.

Voici une autre solution due à Lambert (^). Prolongeons [Jig. 67) les côtés AB, BC, CD, DA et une diagonale AC du parallélogramme donné

jusqu'à la rencontre de EF aux points E, F, G, H, I; menons une droite quelconque par I qui coupe les droites EP, GP en A', C ; si Q est le point de concours des droites HA', FC, la droite demandée sera PQ.

En effet, désignons par B',D'les points où EP, GP coupent respectivement FQ, HQ, les quadrilatères ABCD, A'B'C'D' sont homologiques, EF étant l'axe d'homologie; le point P correspond au point de concours de AB, CD, et le point Q au point de concours de BC, AD. Donc PQ est la droite limite de la seconde figure, et, par suite, PQ est parallèle à EF (nM6).

Problème. — On donne un cercle et son centre ; tracer, au moyen de la règle seulement, une perpendiculaire à une droite donnée.

Menons deux diamètres AC, BD dans le cercle [Jîg. 68). La figure ABCD sera un rectangle. Par suite, si l'on prend un point K quelconque de la circonférence, on pourra, au moyen de la proposition qui précède, tracer KL parallèle à la droite donnée EF. Joignant alors le second point L, commun à KL et à la circonférence, à la seconde extrémité M du diamètre

(*) PoNCELET, Propriétés projectives, n° 198 (Paris, 1822). (*) Freie Perspective, t. II, p. 169 (Zurich, 1774)-

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

qui passe par K, la droite LM sera évidemment perpendiculaire à KL, et, par suite, aussi à la droite donnée.

- Fig. 68.

Problème. -'B est le point milieu de la droite AC; on veut diviser BC en n parties égales, en ne se servant que de la règle. Construisons {fg. 69) un quadrilatère ULDN, dont deux côtés opposés

Fig. 69.

DL NU concourent en A, les deux autres côtés opposés LU, DN en C, et dont une diagonale DU passe en B; l'autre diagonale LN sera parallèle a AC (n° 51 ) et coupée en deux parties égales; en M, par DU (n° 48). Construisons maintenant un second quadrilatère VMEO, sous les mêmes conditions que le précédent, et qui soit tel, en outre, que M et N soient une extrémité et le point milieu de la diagonale parallèle à AC; ou, en d'autres termes, menons les droites AM, BN qui se coupent en E, la droite CE qui coupe en 0 le prolongement de LN, de manière que nous aurons NO = MN = LM. Construisons un troisième quadrilatère analogue aux deux premiers, de manière que N soit une extrémité et 0 le milieu de la diaî?onale parallèle à AC. Si P est la seconde extrémité de cette diagonale, nous aurons donc OP = NO = MN = LM. Continuons ensmte de la môme manière jusqu'à ce que le nombre des segments égaux LM, MN, NO OP, . . . soit égal à /z ; si PQ est le dernier segment obtenu, tirons les

droites LB, QC qui concourent en Z; les droites qui joindront Z aux points M, N, 0, P, . . . diviseront BG en n parties égales. C'est ce que l'on demandait (').

On peut résoudre de même, au moyen de la règle seulement, les problèmes suivants :

Étant données deux droites parallèles AB et a, diviser AB en deux parties égales (n° 51).

Étant donnés une droite AB et son point milieu C, mener par un point donné la parallèle à AB ( n'' 51 ).

Étant donnés un cercle et son centre, diviser en deux parties égales un angle donné (n°52).

Étant donnés deux angles égaux et adjacents AOC, COB, mener par 0 la perpendiculaire à OC ( n° 52 ) .

90. Théorème. — Deux triangles ABC, A'B'C, situes dans des plans différents o-, n' étant perspectif s , si Von fait tourner le plan de l'un d'eux autour de ca', le point 0 où concourent les rayons AA', BB', CC change de position et décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite co-' (^).

Soient D, E, F [fig. 70) les points de la droite nrs' où concourent les couples de côtés correspondants BC et B'C, CA et C'A', ABet A'B'(nM4).

Fig. 70.

Par 0, centre de projection des deux triangles ABC, A'B'C, considérés dans une position déterminée de leurs plans, menons les droites OG, OH, OK respectivement parallèles aux côtés du triangle A'B'C; ces droites se trouvant dans un même plan tt, parallèle à a\ rencontreront le plan g en trois points G, H, K de la droite ttct. Imaginons maintenant que le plan a' tourne autour de la droite o-u', en

(^) Ce problème et d'autres à résoudre au moyen de la règle seulement se trouvent dans l'ouvrage précité de Lambert. (') Chasles, loc. cit., nos 368, 369.

84 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

entraînant avec lui le triangle A'B'C. Le groupe des quatre points BCDG est perspectif avec le groupe B'C'DG', où G' désigne le point à l'infini de B'C; par suite, le rapport anharmonique (BCDG) est égal à (B'C'DG'), ou bien (n° 53) à B'D : CD, quantité constante. Donc, B, C, D étant trois points fixes, G sera aussi un point déterminé et invariable (n° S3). Les triangles semblables OBG, B'B D donnent