BD
ce qui veut dire que OG est une quantité constante. Par conséquent, le point 0 se meut sur une sphère dont le centre est G et le rayon la constante ci-dessus.
On démontre de la même manière que le point 0, se meut sur deux autres sphères dont les centres sont les points H, K.
La ligne décrite par le point 0, devant se trouver simultanément sur plusieurs sphères, est donc une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la ligne qui renferme les centres des sphères, et dont le centre est sur cette même droite ( ' ).
Cette droite GHK, commune aux plans tt, a, et, par suite, parallèle à (7(7' (puisque les plans tt, a' sont parallèles), est la droite de fuite ou droite limite de la figure (7, considérée comme image perspective de la figure ff'(nMl).
91. Théorème. — Deux faisceaux projectifs, ayant le même centre 0, placés dans un même plan a et privés de rayons unis, peuvent être considérés comme Vimage perspective de deux faisceaux directement égaux {').
Coupons les deux faisceaux par une transversales; nous obtiendrons deux ponctuelles projectives ABC. . ., A'B'C. . . , superposées et privées de points unis. Menons par s un plan cr' quelconque ; on peut déterminer dans ce plan un point U (n° 83) tel, que l'on puisse projeter de ce point les segments AA', BB', CC,... sous un angle constant; cela veut dire qu'en projetant de U les deux ponctuelles on obtient deux faisceaux directement égaux. Si maintenant on place l'œil en un point quelconque de la droite OU et que Ton projette de ce point sur le plan c' les faisceaux donnés, on obtiendra précisément les deux faisceaux directement égaux.
(') Baltzer, Scéréom., p. 3i.
(*) Chasles, loc. cit. y n» 180.
§ XII. — Involution.
92. Soit 0 le centre de deux faisceaux projectifs concentriques {fig. 71) coupés respectivement par les transversales
Uy u' et qui déterminent ainsi deux ponctuelles projectives ABC..., A'B'C'...; soit aussi u" la droite sur laquelle se coupent les couples de droites AB' et A'B,... (n° 67, à gauche). Un rayon (non uni), mené arbitrairement par 0, coupera u, u' en deux points non correspondants A, B', et rencontrera u" en un point de la droite A'B. Il résulte de là que, au rayon OA du premier faisceau correspond le rayon OA' de l'autre ; et que, au rayon OB' de celui-ci, correspond le rayon OB de celui-là. En d'autres termes, à un rayon OA ou OB' correspondent deux rayons OA', OB distincts entre eux, suivant que l'on considère le premier rayon comme appartenant à l'un ou à l'autre faisceau. En effet, la droite A'B doit rencontrer AB' sur u" et ne peut passer par le point 0, que Ton suppose placé en dehors de u".
Donc, en général (*), dans deux formes projectives superposées (de première espèce), à un même élément correspondent deux éléments distincts, suivant que le premier est considéré comme élément de l'une ou de l'autre forme.
{') Nous disons deux formes, parce que le raisonnement que nous avons fait sur deux faisceaux concentriques de rayons peut se répéter pour deux ponctuelles superposées ou pour deux faisceaux de plans ayant le même axe. On peut arriver au même résultat en coupant les deux faisceaux de rayons par une transversale, ou en les projetant d'un centre pris en dehors de leur plan.
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
Nous disons en général, parce que le raisonnement qui précède suppose que 0 est en dehors de u".
93. Mais, si 0 est sur u" (fig, 72) et si l'on mène par 0 un rayon arbitraire qui coupe ^^, u' en A, B', la droite A'B passera
aussi par 0 ; en d'autres termes, au rayon OA ou OB' correspondra un même rayon OA' ou OB; ce que nous exprimerons en disant que les deux rayons se correspondent doublement, ou encore que les deux rayons sont conjugués.
Supposons, vice versa, que deux faisceaux projeciifs concentriques aient un couple de rayons qui se correspondent doublement. Coupons les deux faisceaux par deux transversales u et u' et nommons A, B' les points où elles coupent le premier rayon ; le second rayon sera coupé en B, A'. La droite u'\ lieu des points où se rencontrent les couples de droites MN', M'N (n° 67) relatives aux ponctuelles projeclives u, u', passera par 0, parce que les droites AB', A'B se croisent en ce point. Menons par 0 un rayon arbitraire qui coupe les transversales en C, D', par exemple; la droite CD passera aussi par 0, c'est-à-dire que les rayons OCD', ODC se correspondent aussi doublement. Donc :
Si deux formes projectives superposées [de première espèce) ont un couple d'éléments qui se correspondent doublement, les éléments de tout autre couple d'éléments correspondants se correspondront aussi doublement.
9k. Ce cas particulier de deux formes projectives (de pre-
mière espèce) superposées se nomme involution (i), involulion de points, de rayons ou de plans, suivant que les éléments sont des points d'une droite, des rayons d'un faisceau ou des plans d'un faisceau.
Donc, dansVinvolution, les éléments sont conjugués deux à rfew^, c'est-à-dire que chaque élément a son conjugué ; si l'on considère le premier comme appartenant à l'une ou à l'autre forme, son correspondant est son conjugué dans l'un et dans l'autre cas. Il résulte de là qu'il n'est pas nécessaire de considérer les deux formes comme étant distinctes, et que Von peut concevoir Vimolution comme une série de couples d'éléments conjugués deux à deux.
Si l'on dit que AA^ BB', CC, . . . forment une involution, on entendra exprimer que A et A', B et B', C et C,. . . sont des éléments conjugués; du reste, tout élément pourra être échangé avec son conjugué, de sorte que les deux formes
AA'BBXC'..., A'AB'BCC...
sontprojeclives.
95. Comme l'involution n'est qu'un cas particulier de deux formes projectives superposées, toute section ou projection d'une involution donne une nouvelle involution {'). Deux éléments conjugués de l'involution donnée produisent deux éléments conjugués de la nouvelle involution. 11 s'ensuit (n« 16) que la figure homologique d'une involution est aussi une involution.
96. Quand deux ponctuelles projectives superposées sont en involution, à un point quelconque, par suite, au point à l'infini (1 ou J') correspond un point unique (F ou J), c'està-dire les deux points F et J coïncident en un seul point, que nous nommerons 0 : ce point 0 sera donc le point conjugué
{') Desabgbes, Brouillon projet d'ime atteinte aux événements des rencontres d'un cône avec un plan (Paris, lôSg) : édition Pocdra (Paris, i864), t. 1,
(-) Desarghes, loc. cit., p. i47-
^O GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.
du point de l'infini. L'équation (i) du n« 83 devient alors OA.OA' = const.
En d'autres termes, une involution de points est formée par des couples de points A, A', qui jouissent de la propriété que le produit de leurs distances à un point fixe 0 (de la droite donnée) est constant ('). Le point 0 est nommé centre ou point central de l'involution.
Les éléments unis de deux formes projectives superposées en involution sont dits éléments doubles de l'involuiion. Pour l'involution AA', BB', . . . , on a
OA.OA'rzz: OB.OB'^::. . . =. const. ;
si celte constante est positive, c'est-à-dire si 0 ne tombe pas entre deux points conjugués, il y aura deux points doubles E, F tels que
ÔË' = Ôf' := OA.OA'= OB.OB' .= . . . ;
0 est donc le point milieu du segment EF, et tous les groupes EFAA', EFBB',... sont harmoniques. Donc :
Si une involution a deux éléments doubles, ceux-ci divisent liarmoniquement deux éléments conjugués quelconques, ou bien une involution est formée par les couples d'éléments qui donnent, avec deux éléments fixes, un groupe harmonique.
Si la constante est négative, c'est-à-dire si 0 tombe entre deux points conjugués, il n'y a pas de points doubles. Dans ce cas, il y a deux points conjugués équidistants de 0, pour lesquels on a
OEr=OE' et ÔË'r=Ô]E''=^— OE.OE'=:— OA.OA'.
Si la constante est nulle, il n'existe qu'un seul point double 0; mais alors il n'y a pas d'involution proprement dite, car, le produit OA.OA' étant nul, dans tout couple de points conjugués il y en a un qui coïncide avec 0.
97. On peut aussi démontrer, de la manière suivante, que dans toute involution douée de deux éléments doubles ceux-ci
(') Desargues, loc, cit., p. 112 et 119.
sont divisés harmoniquement par deux éléments conjugués quelconques. Soient E, F les deux éléments doubles; A, A' deux éléments conjugués; le groupe EFAA' sera projectifavec le groupe EFA'A : donc (n° 65) l'un ou l'autre de ces deux groupes est harmonique.
Voici une troisième démonstration. Considérons EAA'..., EA'A... comme deux ponctuelles projectives et projetons-les respectivement de deux points S, S' en ligne droite avec E if S' 73). Les faisceaux projetants S(EAA'...), S'(EA'A...)
Fig. 73-
sont perspectifs, à cause du rayon commun SS'E; donc la droite qui joint le point commun à SA, S'A' au point commun à SA', S'A renfermera les intersections de tous les couples de rayons correspondants, et rencontrera, par suite, la droite donnée au second point double F. Mais alors la figure nous donne un quadrilatère complet, dans lequel la diagonale AA' est coupée par les deux autres diagonales en E et F; donc EFAA' est une forme harmonique (n° 48).
Le théorème actuel est un cas particulier de celui du n° 83. Nous concluons de là que les couples d'éléments (points d'une droite, rayons ou plans d'un faisceau ), qui forment, avec deux éléments fixes, un rapport anharmonique constant, constituent deux formes projectives superposées, qui sont une involution dans le cas où le rapport anharmonique a pour valeur — i (n°54).
98. L'involution est déterminée par deux couples d'éléments conjugués. En effet, soient AA', BB' les couples donnés. Prenons un élément quelconque C, on construira son conjugué a en faisant en sorte (n° 66) que les groupes AA'BG, A'AB'C soient projectifs. On a coutume de dire alors que les
