X PRÉFACE

côtelés propriétés métriques, ce qui aurait nui à d'autres buts pratiques de l'enseignement ('). J'ai donc introduit dans mon livre l'importante notion du rapport anliarmonique, ce qui m'a permis, en m'appuyani sur les quelques propositions de la Géométrie ordinaire dont j'ai parlé, d'établir facilement les propriétés métriques les plus utiles qui appartiennent aux figures projectives ou sont intimement liées avec elles.

Je me suis servi de la projection centrale pour établir la notion des éléments à distance infinie et, suivant l'exemple de Steiner et de Staudt, j'ai placé la loi de la dualité tout au commencement du livre, comme un fait logique qui ressort, immédiat et spontané, de la possibilité de construire l'espace à trois dimensions avec l'élément-point ou avec l'élémentplan. Les énoncés et les démonstrations qui se correspondent en vertu de cette loi ont souvent été placés en double colonne; mais quelquefois j'ai abandonné cette disposition pour donner l'occasion aux écoliers de s'exercer à déduire d'un théorème le théorème corrélatif. Dans la préface de son livre, le professeur Reye remarque, avec raison, que rien dans la Géométrie n'est propre à exciter les commençants et à les stimuler vers les recherches propres comme le principe de la dualité; c'est pourquoi il importe beaucoup de leur en donner connaissance le plus tôt possible, et de les habituera l'employer avec assurance.

L'ordre des matières que j'ai employé est une des nombreuses marches que l'on peut suivre pour les exposer dans un cours de leçons ; j'espère cependant être parvenu à faire un livre qui puisse servir même à ceux qui aiment à suivre un ordre différent du mien. Je donnerai quelques exemples. Dès le commencement j'alterne sans distinction les théorèmes de la Géométrie plane avec ceux de la Géométrie de l'espace, parce que l'expérience m'a enseigné, et d'autres l'ont remarqué avant moi ( ^) , que les considérations de l'espace suggèrent

(') Voir Zech, Die huhere Géométrie in ihrer Amvendung auf Kegelschnitte nnd Fldchcn zweiter Ordmiug ( Stuttgard, 1807), Préface.

(') Bellavitis, Saggio di Geometria derivata^ p. 247. — Chasles, Aperçu historique, etc. (Bruxelles, iSSg), p. 191.

l'RÉFACE. XI

bien souvent le moyen de rendre facile et intuitif ce qui serait compliqué et difficile à démontrer par la Géométrie plane; de plus, elles exercent l'intelligence et aident au développement de cette imagination géométrique si utile à l'ingénieur, qui doit pouvoir se représenter les figures dans l'espace sans le secours d'un dessin ou d'un modèle; mais le maître peut croire opportun de s'en tenir strictement, au moins dans les commencements, à la Géométrie plane ; il pourra, dans ce cas, sauter sans inconvénient quelques numéros du livre ('), et les exposer plus tard. Je définis les coniques comme projections du cercle, et, après avoir démontré pour cette courbe deux théorèmes fondamentaux (-), je les transporte aux coniques, et puis je développe sur ces dernières toute la théorie des polygones inscrits et circonscrits, celle des pôles et des polaires, sans m'occuper davantage du cas spécial du cercle. On pourrait, au contraire, déduire de ces deux propriétés fondamentales les théorèmes de Pascal, de Brianchon et de Desargues pour le cercle ainsi que la théorie des pôles; et puis, au moyen de la projection ou de l'homologie, appliquer le tout aux coniques. 11 est inutile de s'étendre plus longuement sur ce sujet. Dès qu'il se sera assimilé les matières, tout professeur verra lui-même comment il lui convient de les distribuer; il lui arrivera même de modifier d'année en année le mode de coordination suivant les résultats de sa propre expérience.

Tous les numéros de mon livre ne sont pas également importants ou nécessaires dans un cours de leçons. Un maître sagace s'apercevra facilement que les propositions fondamentales sont peu nombreuses et ce sont les seules qui doivent être retenues dans la mémoire ; tout le reste se compose de corollaires, de cas particuliers et d'exercices. Il y a une grande liberté de choix parmi ces derniers : les uns pourront être traités à l'école, les autres à la maison ; il sera nécessaire, et c'est ici le point capital, que les écoliers trouvent tous les jours eux-mêmes des déductions et des solutions, qu'ils ne