QR'RS''SQ

et, réciproquement, si l'on prend les points R', S', Q' sur les côtés d'un triangle RSQ, de manière que Von ait la relation précédente, les droites RR', SS', QQ' concourent en un point T.

En répétant ce théorème pour deux points T', V , on obtient cet autre théorème :

Si les sommets R, S, Q d'un triangle sont projetés, à partir de deux centres T', T'', sur les côtés opposés, respectivement, en R'S'Q', R'^S'^Q", le produit des rapports anharmoniques (SQR'R''), (QRS'S'0,(RSQ'Q'') est égal à -^i.

Supposons encore la transversale entièrement arbitraire et menons ST, QT respectivement parallèles à QR, RS; alors les points S', Q' passent à l'infini et R' devient le point milieu de SQ (comme point d'intersection des diagonales QS, RT du parallélogramme QRST). Par suite, les rapports anharmoniques (SQR' A' ), (QRS'R'), (RSQ'C) seront respectivement égauxà-(QA':SA'), RR':QR\SC':RC'.Donc ('):

Si une transversale coupe les côtés d'un triangle RSQ en A', R', C, on aura, entre les segments des côtés, la relation

QPJ RR SC^ ^Â/'QR'RC'"'^

et, réciproquement, si l'on prend trois points k'h'C sur les côtés d'un triangle RSQ, de manière que la relation ci-dessus soit satisfaite, ces trois points seront en ligne droite.

En répétant ce théorème pour deux transversales, on trouve

que :

Si deux transversales coupent les côtés d'un triangle RSQ respectivement en A'R'C, A"R''C'', le produit des rapports anharmoniques [^dk'k"), (QRFR''), ["^^QJ C.") estégalà-^-u

Réciproquement, prenons trois couples de points A' A", R'R", aC" sur les côtés d'un triangle RSQ, de manière que le

(») Théorème de Ménêlacs, Sphœrica, t. HI, p. i. — Cfr. Baltzer, Tri^

produit des rapports anharmoniques (SQA'A''), (QRB'B"), (RSC'C') soit égal à +i; si les points A'B'C sont en ligne droite, les points A'' B''C'' seront aussi en ligne droite; et si les droites RA', SB', QC concourent en un point, les droites RA", SB", QC" seront aussi concourantes.

lOS. Nous avons vu, que quand on a deux ponctuelles projectives (ABC...)) (A'B'C...) dans un même plan, si l'on projette du point commun à deux des [droites analogues AB' et A'B, AC et A'C, . . . , BC et B'C,. . . les deux ponctuelles données, les rayons projetants forment une involution. Les théorèmes corrélatifs sont les suivants :

Étant donnés deux faisceaux projectifs de rayons [abc...)^ [a'b'c'...) situés dans un même plan, mais non concentriques, si on les coupe par une droite joignant deux des points analogues ah' et a' b^ ad et a'c,..., bc' et b'Cj...^ on obtient des couples de points en involution.

Étant donnés deux faisceaux projectifs de plans (a^y. . .), (a' (3' y'. . .) dont les axes se rencontrent, si l'on fait une section par le plan déterminé par deux droites analogues à a(3' et a'p, ay' et a'y , . . . , (3y' et [3'y, . . , , on obtient des couples de rayons en involution.

Étant donnés deux faisceaux projectifs de rayons [abc. . .), [a'b'c'. . .) ayant le même centre mais non situés dans un même plan, si on les projette d'un point commun à deux des plans ab' et a' b, ac et «V,. . . , ^c et b'c^...^ les plans projetants forment une involution.

106. Cas particuliers. — Tous les couples de points d'une droite, équidistants d'un point fixe de cette droite, forment une involution, parce que chaque couple est divisé harmoniquement par le point fixe et le point à l'infini.

Réciproquement, si le point à l'infini est un des éléments doubles d'une involution de points, tout couple de points conjugués a son milieu sur l'autre point double. Si, dans une involution, deux couples AA', BB' de points conjugués ont le même point milieu, ce point sera aussi au milieu d'un autre couple quelconque CC.

Tous les angles rectilignes qui ont même sommet sont situés dans un même plan et ont pour bissectrice une même droite fixe, formant une involution, parce que les côtés de chaque angle sont séparés harmoniquement par la bissectrice commune et par le rayon qui lui est perpendiculaire.

Réciproquement, si les éléments doubles d'une involution de rayons sont deux droites perpendiculaires entre elles, les rayons conjugués de chaque couple font des angles égaux avec chacun des rayons doubles. Si, dans une involution, les angles de deux couples ««', bb' de rayons con-

lOO

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

jugués ont les bissectrices communes, celles-ci seront aussi les bissectrices d'un autre couple quelconque ce'.

Tous les angles dièdres, ayant même arête et même plan bissecteur, forment une involution, car les faces de chaque dièdre sont séparées harmoniquement par le plan fixe et le plan qui lui est perpendiculaire et qui passe par l'arête commune. Réciproquement, si les éléments doubles d'une involution de plans sont deux plans perpendiculaires entre eux, les plans conjugués de chaque couple font des angles égaux avec chacun des plans doubles, etc.

§ XIII. — Formes projectives dans le cercle.

107. Soient donnés dans un plan deux faisceaux (direciement) égaux de rayons «6cfi?. . ., a' 6' c' c/'.. ., dont les centres sont 0, 0' [fig. 8i). L'angle de deux rayons correspondants

Fig. 8i.

aa\ hb'y ce' , ... est constant (n° 80) : donc le lieu géométrique du point commun à deux rayons correspondants sera un cercle passant par 0, 0' ('). La tangente au cercle en 0 fait avec la corde 00' un angle égal à chacun des angles OAO', OBO', OCO', . . .; mais le rayon 00' du second faisceau doit faire le même angle avec le rayon correspondant du premier faisceau; donc la tangente en 0 est précisément ce rayon q du premier faisceau, dont le correspondant q' du second faisceau est la corde 00'.

Imaginons que la circonférence soit parcourue par le point

) Baltzer, Planim., p. 45.