FORMES PROJECTIVES DANS LE CERCLE

mobile A, les rayons mobiles AO, AO', ou «, a', engendrent les deux faisceaux; quand A sera très-voisin de 0, le rayon AO' différera très-peu, en position, de 00' ou de q', et le rayon AO différera très-peu de q, c'est-à-dire de la tangente en 0. Cela concorde avec la définition de la tangente en 0 : la droite qui joint 0 au point infiniment voisin de la circonférence.

De même, au rayon 00' ou p du premier faisceau correspondra dans le second le rayon p', tangent au cercle en 0'.

108. Réciproquement, si l'on projette de deux points 0, 0' d'un cercle autant de points que l'on veut A, B, C, D,. . . du même cercle, les rayons projetants 0(A, B, C, D,...), 0'(A, B, C, D,...) forment deux faisceaux (directement) ^ | égaux, parce que les angles] AOB et AO'B, AOC et AO'C,. . . "^' ""^^ BOC et BO'C,. . . sont égaux; ces faisceaux sont donc projec- v. \\ tifs (n'^TS). En d'autres termes, si les points A, B, C,... restent k ^ fixes, tandis que le centre du faisceau se meut sur la circonférence, le faisceau reste toujours égal et, par suite, projectif h lui-même.

Le rayon qui de 0 projette le même point 0 ou, plus exactement, le point du cercle infiniment voisin de 0 est la tangente en 0. D'où il résulte que, dans les faisceaux projectifs 0(A, B, C,. ..), 0'(A, B, C,...), le rayon du premier faisceau qui correspondtau rayon O'O du second est la tangente en 0.

109. Nous savons que, dans deux formes projectives, quatre éléments harmoniques (n° 58) correspondent à quatre éléments harmoniques; il suit de là que, si quatre rayons 0( A, B, C, D) sont harmoniques, le groupe 0'(A, B, C, D) sera aussi harmonique, quelle que soit la position du point 0' sur le cercle. Si nous faisons coïncider 0' avec le point infiniment voisin de A, le groupe formé par la tangente en A et les cordes AB, AC, AD sera aussi harmonique. De même, le faisceau composé de la corde AB, de la tangente en B et des cordes BC, BD sera aussi harmonique, etc.

On dira, dans ce cas, que les quatre points ABCD du cercle sont harmoniques (*).

C) Steiner, loc. cit., p. 157.

102 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Si PQ, P'Q' sont deux tangentes fixes d'un cercle de

centre M

[fig. 82) et AA' une tangente variable limitée aux

Fig. 82.

deux tangentes fixes, l'angle AMA' est constant. En effet, soient Q, P', T les points de contact, on a

angleAMA' = AMT -h TMA' r=. iQMT + iTMF= f QMF (').

Quand la droite AA' se meut entre les deux tangentes fixes,* les rayons MA, MA' engendrent donc deux faisceaux projectifs (n° 82); par suite, les points A, A' décrivent deux ponctuelles projectives. Donc :

Les tangentes au cercle marquent sur deux tangentes fixes deux ponctuelles projectives ( ^).

Comme l'angle AMA' est égal à ^QMP', c'est-à-dire à chacun des angles QMQ', PMP' {où P, Q' indiquent un même point considéré comme appartenant à la première ou à la seconde tangente fixe), les points Q et Q', P et P' sont correspondants dans les deux ponctuelles projectives; ce qui revient à dire que les points de contact des deux tangentes fixes correspondent au point commun à ces tangentes.

Imaginons que le cercle soit parcouru (enveloppé) par la tangente mobile, les points A, A' engendrent les deux ponctuelles projectives; quand la tangente mobile a une position très-voisine de celle de PQ, le point A' est très-voisin de Q', et le

(') Baltzer, Planim., p. 6 et 1 3.

(*) Baltzer, Trigon., p. i55.