FORMES PROJECTIYES DANS LE CERCLE

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point A devient très-voisin du point correspondant à Q^ c'està-dire du point de contact de PQ. Donc :

// faut considérer le pmnt de contact d'une tangente comme l'intersection de celle-ci a<^ec une tangente infiniment voisine,

111. Le théorème précédent exprime que quatre tangentes abcd d'un cercle sont coupées par une cinquième tangente en quatre points ABCD, dont le rapport anharmonique est constant, quelle que soit cette cinquième tangente.

La cinquième tangente peut être infiniment voisine à une des quatre tangentes fixes, à a par exemple; alors A est le point de contact de a, et B, C, D sont les intersections ah, ac, ad.

Comme cas particulier, si abcd coupent PQ en quatre points harmoniques, les intersections de abcd avec une tangente quelconque au cercle formeront aussi un groupe harmonique. Le groupe formé par le point de contact de a et par les points d'intersection ab^ ac, ady.,, est donc un groupe harmonique. Dans ce cas, les quatre tangentes abcd sont dites harmoniques (').

112. Soient [fig, 83) A, B, C,..., X des points du cercle et a, by c,. . ., X les tangentes correspondantes. Si l'on projette

du centre du cercle les points A', B', C',.. ., où ^ est coupée par a, b, c, ..., les rayons projetants sont respectivement

C) Steiner, loc. cit., p. 157.

Io4 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

perpendiculaires aux cordes XA, XB, XC,. . . et forment, par suite (n"82), un faisceau égal au faisceau X{A, B, C,...). Donc la ponctuelle k'B'C... est projective au faisceau X(ABC...)('). ou bien :

La ponctuelle que plusieurs tangentes données d'un cercle déterminent sur une tangente arbitraire est' projective au faisceau des rayons qui projettent leurs points de contact d'un point quelconque du même cercle.

II résulte de là, comme cas particulier, que si X(ABCD) est un groupe harmonique, le groupe A'B'C'D' est aussi harmonique, ou :

Si quatre points d'un cercle sont harmoniques, les tangentes en ces points sont aussi harmoniques, et réciproquement,

§ XIV. — Formes projectives dans les coniques.

113. Proposons-nous de construire les figures homologiques de celles qui expriment les théorèmes des n°' 108, 110, 112. Aux points et aux tangentes du cercle correspondront les points et les tangentes d'une conique (n°18). Donc, pour une conique, la tangente est la droite qui coupe la courbe en deux points infiniment voisins ; un point de la courbe est l'intersection de deux tangentes infiniment voisines; à deux faisceaux égaux et, par suite, projectifs correspondront deux faisceaux projectifs, et à deux ponctuelles projectives correspondront aussi deux ponctuelles projectives; deux faisceaux ou deux ponctuelles qui se correspondent dans deux figures homoloiques sont, en effet, deux formes projectives. Donc on conclut des théorèmes ci-dessus :

I. — Si l'on projette de deux points fixes 0, 0' d'une conique autant de points que l'on veut A, B, C, D,... de la même courbe [fig. 84), les rayons projetants 0(A, B, C, D,...), 0'(A, B, C, D,...) forment deux faisceaux projectifs. Au rayon 00' du premier faisceau correspond la tangente en 0',

(') Baltzer, Trigon., p. lôy.

FORMES PROJECTIVES DANS LES CONIQUES. I o5

et au rayon O'O du second faisceau correspond la tangente en 0.

Fig. 84-

IX. — Deux tangentes fixes o, o' d'une conique sont coupées par autant de tangentes que l'on veut a, h,c,d,. . . en des

Fig. 85.

points formant des ponctuelles projectiles. Au point oo' de la première ponctuelle correspond le point de contact de o' , et au point o' o de la seconde ponctuelle correspond le point de contact de o (').

III. — La ponctuelle qu'une tangente mobile à une conique [fig. 86) détermine sur une tangente fixe est projective au

(*) Steiner, loc. cit.., p. iSg.

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faisceau qui projette le point variable de contact à partii d'un point fixé arbitrairement sur la même conique,

Fig. 86.

114. Nous allons maintenant démontrer les théorèmes inverses des théorèmes I, IL

r. Si deux faisceaux de rayons^ tracés dans un même plan [non concentriques), sont projectifs {non perspectifs), le lieu du point commun à deux rayons correspondants est une conique qui passe par les centres des deux faisceaux ; les tangentes en ces points sont les rayons des deux faisceaux qui correspondent à la droite qui joint leurs centres.

Soient P, Q les centres des deux faisceaux (fig. 87), PA et

Fig. 87.

QA, PB et QB, ... les couples de rayons correspondants. Le lieu des points A, B,. . . passe par le point Q, parce que le rayon PQ du faisceau P et le rayon correspondant du faisceau Q se coupent en Q. De même P est un point du lieu.

Av-

lA^y