FORMES PROJECTIVES DANS LES CONIQUES. IO

Soit q le rayon du faisceau Q qui correspond au rayon PQ du faisceau P, el décrivons un cercle langent k q en Q : ce cercle coupe les rayons QA, QB, . . . , QP en A', B', . . . , P'. Les faisceaux Q(A', B', C',. . .), F(A', B', C^. . .) sont projeclifs ( 108); par suite, les faisceaux P (A, B, C, . . . ). P' {^' ^ B', C, . . . ) sontaussiprojectifs;cesdernierssontaussi perspectifs, puisque lerayonPP'Q se correspond à lui-même. Donc les droites PA et P'A', PB et P'B', PC et P'C',. . . se coupent en des points d'une droite fixe s. Les triangles PAB et P'A'B', PAC et P'A'C^. - . sont homologiques; en effet, les droites PP', AA', BB', CC% . . . concourent toutes en Q; donc (n° 14) les couples de côtés PA et P'A', PB et P'B', PC et P'C',..., AB et A'B', AC etA'C, ... se couperont en des points de 5. Il s'ensuit (n°J§63 /^ que le cercle et le lieu des points A, B, C, . . . , P, Q sont des courbes homologiques ; Q est le centre et s l'axe d'homologie. Donc (n° 18) le lieu cherché est une conique.

Dans les deux figures homologiques, le point Q et la droite q se correspondent à eux-mêmes (n" 18); donc la tangente en Q à la conique est la droite q elle-même.

IF. Si deux droites ponctuelles, situées dans un même plan (non superposées) sont projectiles [non perspectives) , les droites qui joignent les couples de points correspondants en- {>eloppent une conique, c'est-à-dire sont les tangentes d'une conique. Cette conique est tangente aux deux droites données aux points qui correspondent à leur commune intersection.

Soient s, s' (fig. 88) deux ponctuelles projectives, A et A', BetB', ... des couples de points correspondants. La courbe enveloppe des droites AA^ BB',. . . a aussi pour tangente la droite *, parce qu'elle joint le point ss' ou Q' de la seconde ponctuelle au point correspondant Q de la première. De même s' est une autre tangente.

Décrivons un cercle tangent à 5 en Q et menons-lui les tangentes AA'', BB'',. . . de différents points de s : elles coupent en k", W,. . . la tangente issue de Q'. De même AA' coupe BB', ce, . . . en H', K', . . . , et AA'^ coupe BB", CC", ... en B",

K", Les ponctuelles ABC . . . , A"B" C". . . sont projectives

(n° 110); donc les ponctuelles A'B'C'..., M'WC. . sont aussi

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GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.

projeciives; ces dernières ponctuelles sont aussi perspectives puisque le point Q' se correspond à lui-même. Donc les droites A'A^, B'B'', ce,... concourent en un point fixe 0. Les

Fig. 88.

triangles A'B'H' et A'^B^'H" et A'C'K'et k"CfK",.. . sont homologiques, puisque les couples de côtés A'B' et A''B'', A'H' et A'^H^ B'H' et B^^H",. . . se coupent aux points Q', A, B, C,. . . de la droite fixe s; donc (n° 15) les droites A' A'', B'B'', C'C",..., H'H'', K'K'',..., qui joignent les sommets, concourent au point fixe 0. Il résulte de là que la figure formée par les droites AA', BB^ CC',.. . et la figure formée par les droites AA'', BB", CC',. . ., c'est-à-dire par les tangentes au cercle, sont homologiques (n° 16); s est l'axe et 0 le centre d'homologie ; donc l'enveloppe cherchée est une courbe homologique à un cercle, ce qui veut dire une conique {n° 18).

Dans les deux figures homologiques, la droite s et le point Q se correspondent à eux-mêmes (n° 18 j, donc le point de contact de la conique avec s est Q (').

Les théorèmes r, ir de ce numéro sont corrélatifs (27), car la figure formée par les points d'intersection des rayons correspondants de deux faisceaux projeclifs a pour figure corrélative celle qui est formée par les droites qui joignent les

(') Chasles, Traité des sections coniques (Paris, i865), no« 8 et