FORMES PROJECTIVES DANS LES CONIQUES. IO

points correspondants de deux ponctuelles projeclives. Donc, dans deux figures corrélatives {suivant la loi de dualité dans le plan), aux points d'une conique correspondent les tangentes d'une autre conique,

115. En ayant égard aux n°' 58 et 61, les théorèmes des n°* 113 et 114 peuvent aussi s'énoncer comme il suit :

Le rapport anharmonique des quatre droites qui joignent quatre points fixes d'une conique à un point variable de cette courbe est constant.

Le rapport anharmonique des quatre points oà quatre tangentes fixes d'une conique sont coupées par une tangente variable de la même courbe est constant (').

On nomme rapport anharmonique de quatre points donnés ABCD d'une conique le rapport anharmonique des quatre droites 0{ A, B, G, D), où 0 est un point quelconque de la conique. On nomme rapport anharmonique de quatre tangentes données abcd d'une conique le rapport anharmonique des quatre points o(<2, ô, c, c?), où o est une tangente quelconque de la conique.

Le rapport anharmonique de quatre tangentes d'une conique est égal au rapport anharmonique de leurs points de contact {^),

Le lieu d'un point d'où l'on peut projeter quatre points donnés ABCD par des rayons, dont le rapport anharmonique soit donné, est une conique qui passe par les points donnés.

La tangente en un de ces points, en A par exemple, est une droite qui forme, avec AB, AC, AD, un groupe, dont le rapport anharmonique est égal à celui qui est donné.

La courbe enveloppe des droites qui sont coupées par quatre droites données en quatre points, dont le rapport anharmonique soit donné, est une conique tangente aux droites données. Le point de contact d'une de ces droites, de a par exemple, forme avec les points ab, ac, ad un groupe dont le rapport anharmonique a la valeur donnée (').

(*) Steiner, loc. cit., p. i56.

(*) Chasles, Géom. sup., n° 663.

(^) Steiner, loc. cit., p. 156-157.

116. Par cinq points 0, 0', A, B, G donnés arbitrairement dans un plan [fg. 84), mais dont trois quelconques ne sont pas en ligne droite, on peut faire passer une conique. En effet, il suffira de construire les faisceaux projectifs, dont les centres sont deux des points donnés, 00' par exemple, et dont trois couples de rayons correspondants OA et O'A, OB et O'B, OC et 0' C se coupent aux trois autres points. Tout autre couple OD, O'D de rayons correspondants donnera un nouveau point D de la courbe.

Pour construire la tangente en un des points donnés, en 0 par exemple, il suffira de déterminer le rayon du faisceau 0 qui correspond au rayon O'O du faisceau 0'.

Il ne passe qu'une seule conique par cinq points donnés; s'il en passait deux, elles auraient en commun une infinité d'autres points (déterminés par les couples de rayons correspondants des faisceaux projectifs), ce qui est absurde.

Il résulte de là, en outre, que :

Par quatre points, il passe une infinité de coniques; deux quelconques d'entre elles n'ont aucun point commun en dehors des quatre points donnés.

On peut construire une conique tangente à cinq droites données dans un plan [fïg. 85), pourvu que trois d'entre elles ne passent pas par un même point. En effet, il suffira de construire les ponctuelles projectives au moyen des trois couples de points correspondants [oa et o'«, ob et o'b^ oc et o'c) que trois des droites données a, b^ c déterminent sur les deux autres. La droite d qui joindra deux autres points correspondants sera une nouvelle tangente de la courbe.

Pour construire le point de contact d'une des droites données, de o par exemple, il suffira de déterminer le point de la ponctuelle o qui correspond au point oo' de la ponctuelle o'.

Il n'y a qu'une seule conique tangente à cinq droites données; s'il y en avait deux, elles auraient une infinité de tangentes communes (les droites déterminées par les couples de points correspondants des ponctuelles projectives), ce qui est absurde.

Il y a une infinité de coniques tangentes à quatre droites données; deux quelconques de ces coniques ne peuvent avoir une autre tangente commune.

117. On peut maintenant énoncer de la manière suivante les théorèmes du n° 70 :

Si un hexagone est circonscrit à une conique [fig. 89 et 56), les droites qui joignent les trois cou-

Si un hexagone est inscrit dans une conique [fig. 57 et 90), les trois couples de côtés opposés se cou-