FORMES PROJECTIVES DANS LES CONIQUES

pies de sommets opposés concourent en un même point (').

Fig. 89.

pent en trois points situés en ligne droite (').

Le théorème de Pascal est relatif à six points et celui de Brianchon à six tangentes d'une conique ; ces six points ou tangentes peuvent être pris arbitrairement parmi tous les points et toutes les tangentes de la courbe. Or la conique est déterminée par cinq points ou cinq tangentes, ce qui revient à dire que cinq points ou cinq tangentes peuvent être pris arbitrairement parmi les points ou les droites du plan ; mais, une fois ces cinq éléments déterminés, la conique Test aussi. Ainsi le théorème de Pascal exprime la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire six points d'un plan pour qu'ils puissent se trouver sur une conique; le théorème de Brianchon exprime, de même, la condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire six droites d'un plan, pour qu'elles puissent être tangentes à une conique.

Il résulte des énoncés mêmes du n° 117 que la condition est nécessaire; six points d'une conique, pris dans un ordre

(') Théorème de Brianchon, publié pour la première fois en 1806 et reproduit plus tard dans le Mémoire sur les lignes du second ordre (VolTis, 1817,

(*) Théorème de Pascal : Essai sur les coniques, opuscule de six pages in-8, publié pour la première fois en 1640, quand l'auteur n'avait encore que seize ans, puis reproduit dans l'édition des Œuvres de Pascal (La Haye, 1779) et aussi récemment par M. Weissenborn, dans la préface de son livre : Die Projec tion in der Ebene {Berlinj 1862).

112 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

quelconque, peuvent être considérés comme les sommets d'un hexagone inscrit; et, comme le théorème de Pascal est vrai pour tout hexagone inscrit, il est nécessaire que, dans quelque ordre que l'on prenne les six points pour former l'hexagone, les couples de côtés opposés concourent en trois points en ligne droite.

La condition est suffisante. En effet (fig. go ), supposons que l'hexagone ABXA'BC, que nous obtenons en prenant les six points dans un certain ordre, jouisse de la propriété que les couples de côtés opposés BC et B^C, CA' et C'A, AB' et A'B concourent en trois points P, Q, R d'une droite.

Par les points AB'CA'B passe une conique (et une seule) qui rencontre la droite AC en un certain point X. Alors AB'GA'BX sera un hexagone inscrit et les couples de côtés opposés B' C et BX, XA ou C'A et CA', A'B et AB' se couperont en trois points en ligne droite, dont le deuxième et le troisième sont Q et R; le premier est donc l'intersection de QR et de B'C ou P. La droite BX passe donc aussi bien par P que la droite BC; donc les droites indéfinies BX et BC' coïncident. Il résulte de là que le point X est situé sur AC et sur BC; ce point est donc précisément le point C. (c. q. f. d.)

Suivant l'ordre dans lequel on relie six points, on peut obtenir soixante hexagones simples. Il résulte du raisonnement que nous venons de faire que, si un quelconque de ces hexagones jouit de la propriété que ses couples de côtés opposés se coupent en trois points en ligne droite, les six points appartiennent à une même conique et, par suite, tous les autres hexagones jouissent de la même propriété ( * ).

Des considérations corrélatives à celles qui précédent et se rapportant au théorème de Brianchon peuvent être développées pour un système de six droites.

118. Considérons les deux triangles, dont l'un est formé par le premier, le troisième et le cinquième côté, l'autre par le deuxième, le quatrième et le sixième côté de l'hexagone inscrit AB'CA'BC {Jig, 90). Prenons comme correspondants

(') Steiner, loc. cit., p. 3ii.

FORMES PROJECTIVES DANS LES CONIQUES. Il3

les côtés BC et B'C, CA' et C'A, AB' et A'B; d'après le théorème de Pascal, ces côtés se coupent deux à deux en trois points situés en ligne droite; donc {n" 15) ces deux triangles sont homologiques. Il résulte de là que l'on peut énoncer le théorème de Pascal comme il suit :

Si deux triangles sont homologiques , les points où les côtés de l'un rencontrent les côtés non correspondants de l'autre sont situés sur une même conique.

De même, si nous considérons dans un hexagone circonscrit ab'ca'bc' [Jig.Sg) les sommets de rang impair et les sommets de rang pair, comme les sommets de deux triangles où les sommets bc' et b'c, ca' et c'a, ab' et a' b sont pris comme correspondants, ces couples de sommets sont alignés sur un même point, d'après le théorème de Brianchon; donc fn« 14) les deux triangles sont homologiques et le théorème de Brianchon peut être énoncé ainsi :

Si deux triangles sont homologiques , les droites qui joignent les sommets de l'un aux sommets non correspondants de Vautre sont tangentes à une même conique.

On peut réunir les deux énoncés en un seul : Si deux triangles sont homologiques, les points où les côtés de l'un coupent les côtés non correspondants de l'autre sont sur une conique, et les droites qui joignent les sommets de l'un aux sommets non correspondants de Vautre sont tangentes à une autre conique (^).

119. Reportons-nous à la ^g-. 90 et considérons les points AB'GA'B comme fixes et G' comme variable ; on peut présenter ainsi le théorème de Pascal :

Si un triangle C'PQ ^e déforme, de manière que ses côtés PQ> PC', QC tournent autour des points fixes R, B, k pendant que deux de ses sommets P, Q parcourent deux droites fixes CB', CA', le troisième sommet C décrit une conique qui passe par les points donnés A, B, par le point G commun aux droites

(*) MÔBius, loc. cit., no 278.

ll/j. GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

données, par le point B' commun à AR, CB' et par le point A' commun à BR, CA' ( ' ).

De même, on peut présenter le théorème de Brianchon comme il suit :

Si un triangle c'pg [fig. 95) se déforme, de manière que ses sommets pq, pc', qc' parcourent les droites fixes r, b, a pendant que deux de ses côtés tournent autour de points fixes cb\ ca\ le troisième côté c' enveloppe une conique tangente aux droites données a, by à la droite c qui joint les points fixes, à la droite b' qui joint les points ar, cb' et à la droite a' qui joint br à ca! .

120. Si, dans les propositions du n° 116, à droite, nous supposons qu'une tangente soit la droite à l'infini, la conique sera une parabole (n« 18) ; donc :

Une parabole est déterminée par quatre tangentes; ou bien (n° 116, à droite) :

// n'existe qu'une seule parabole tangente à quatre droites

données.

En faisant la même hypothèse dans le théorème n" 113, II, les points à l'infini des deux tangentes, ponctuelles projectives, sont des points correspondants, car la droite qui les joint est une tangente à la courbe. Donc (n° 74) :

Les tangentes à une parabole coupent deux tangentes fixes de cette courbe en des points qui forment deux ponctuelles semblables ; ou :

Deux tangentes fixes d'une parabole sont divisées par toutes les autres tangentes en parties proportionnelles {').

Les deux tangentes fixes sont coupées par les autres aux points A et A', B et B', C et C',... {fig. 9O; soient P, Q' leurs

(») Ce théorème a été donné par Maclaurin, en 172 1. Cfr. les Transactions philosophiques de la Société royale de Londres pour l'année 1736 (page 121 de la traduction française publiée à Bologne en 17/} 0, et Ciiasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en GeomémV(Bruxelles, iSS-). Si le point B est à l'infini, ce théorème devient le lemme 20 de Newton, Philosophiœ naturulis principia mathematica, liv. I, p. 198 de l'édition de Cologne; la première édition est de 1686.

(*) Apollonii Perg^i Conicorum liv. III, f\\.

FORMES PROJECTIVES DANS LES CONIQUES. Iî5

points de contact, leur point commun devra être désigné par Q ou P', suivant qu'on le considère comme point de l'une

OU de l'autre tangente. Nous aurons donc les égalités

^B ^ J^ ^ J^ 1 AP AQ PQ A'B' A^a B'C A'F"~Â^^ — • -PMJ*

Réciproquement (n« 114), 5/ l'on donne {dans un plan) deux droites ponctuelles semblables, toutes les droites qui joignent des couples de points correspondants sont tangentes à une même parabole, qui touche les droites données aux points qui correspondent à leur commune intersection.

En effet, la droite à l'infini est, dans ce cas, une tangente à la conique, car elle joint les points à l'infini des deux droites données, et ces points sont correspondants (n° 73).

121. Supposons, dans le théorème n° 114, que le point P soit à l'infini ou, ce qui revient au même, que le premier faisceau soit formé de droites parallèles. A la droite QP (c'està-dire au rayon du second faisceau parallèle aux rayons du premier), considérée comme rayon p' du second faisceau, correspond la droite p du premier, tangente en P; cette droite peut être à distance finie ou à distance infinie.

Dans le premier cas [Jig, 92), la droite à l'infini est un rayon j du premier faisceau, auquel correspondra dans le second un rayon / différent de / et, par suite, ne passant pas par P ; donc la conique sera une hyperbole (n« 18), dont les points

,,6 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

à l'infini sont V^pp' eijj'; la droite p est une des asymptotes et / est parallèle à l'autre.

Fig. 92.

Dans le second cas {Jig. 9^), la droite à l'infini est tangente en P à la conique : celle-ci est donc une parabole.

122. Si, dans le même théorème du n« lU, on suppose les deux points P et Q à distance infinie [fig, 94), chacun des

Fig- 94-

deux

faisceaux projectifs sera formé de rayons parallèles et la