FORMES PROJECTIVES DANS LES CONIQUES. II

conique qu'ils engendrent, devant passer par les points P, Q, sera une hyperbole (n° 18). Les asymptotes de l'hyperbole sont les tangentes en ses points à l'infini (*) ; par suite, elles seront les rayons /?, q' du premier et du second faisceau, qui correspondent à la droite à l'infini, considérée successivement comme rayon du second ou du premier faisceau.

D'après le théorème général du n° 113, les asymptotes de l'hyperbole sont coupées par toutes les autres tangentes en des points formant deux ponctuelles projectives, dans lesquelles les points de contact, qui sont ici à l'infini, correspondent au point 0 où se coupent les asymptotes. Donc l'équation

JM.FM' = const.

des n*'" 59 et 83 devient, dans ce cas,

OM.OM'==const.,

où M, M' sont les intersections d'une tangente quelconque avec les asymptotes. Nous concluons, par conséquent, que :

Le produit des segments déterminés par une tangente quelconque de l'hyperbole sur les deux asymptotes , segments comptés à partir de l'intersection des asymptotes, a une valeur constante.

On peut dire aussi :

L'aire du triangle formé par une tangente quelconque de l'hyperbole et ses asymptotes est constante ( ').

123. Appliquons aussi le théorème du n° 113 au cas de deux tangentes fixes parallèles, coupées en M, M' par une tangente variable. Dans les ponctuelles projectives engendrées par ces points, au pointa l'infini commun aux deux tangentes fixes correspondent leurs points de contact; en les désignant par J, r, nous aurons, en vertu du n° 59, l'égalité

JM.rM'=const.

(') Desargues, loc. cit., p. 210; — Newton, 7oc. cit., scolie de la prop. p. 27. (") Apollonius, loc. cit., III, 43.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

Donc :

Le produit des segments qu'une tangente variable détermine sur deux tangentes parallèles fixes, à partir de leurs points de contact, est constant (').

§ XV. — Constructions et exercices.

12i. On résout les problèmes suivants au moyen des théorèmes corrélatifs du n*' 117 :

Cinq tangentes «,^', c^a\h à une conique étant données, construire la tangente à la courbe que l'on peut mener par un point H d'une des tangentes données « [fi^. gS).

Soit c' la tangente cherchée, l^hexagone ab'ca'bc' jouira de la propriété exprimée par le théorème de Briangiion. Menons la diagonale r qui joint deux sommets opposés ab' et a'b^ et la diagonale q qui joint les deux sommets opposés ca' et c' a (ou c'a est le point donné H). La diagonale qui joint les deux autres sommets opposés bc\ U c devra aussi passer par le point qr.

Cinq points A, B', C, A', B d'une conique étant donnés, trouver le point commun à cette courbe et à une droite passant par un des points donnés A [fig. 96) .

Fig. 96.

Soit C le point cherché, l'hexagone AB'CA'BC jouira de la propriété exprimée par le théorème de Pascal. Soient B le point commun à AB', A'B (deux côtés opposés de l'hexagone ) ; Q le point commun à CA', r (deux autres côtés opposés) ; la droite QR devra couper, en un même point P, les deux autres côtés opposés B'C et BC Donc, si l'on ■joint le point P, commun à B'C,

C) Apollonius, loc. cit., III,