CONSTRUCTIONS ET EXERCICES

Donc, si p joint les points qr et b'c^ le point pb^ joint au point donné, donnera la droite cherchée.

Si l'on suppose maintenant que le point H prenne d'autres positions sur une des tangentes connues, et si l'on répète chaque fois la construction qui précède, on obtiendra autant de tangentes que l'on voudra de la conique. Donc le théorème de Brianchon sert à construire par tangentes la conique déterminée par cinq tangentes données (').

QR, au point B, BP coupera r au point cherché C

Si l'on suppose maintenant que la droite donnée prenne d'autres positions en tournant ^autour d'un des points donnés de la conique, et si l'on répète chaque fois la construction qui précède, on obtiendra autant de points que l'on voudra de la conique. Donc le théorème de Pascal sert à construire par points la conique déterminée par cinq points donnés ( ^).

125. Supposons que, dans le problème qui précède à droite le point B soit à distance infinie. La conique sera alors, en général, une hyperbole, dont on connaît les points A,B',C, A' et la direction d'une asymptote. On demande la seconde intersection de la courbe avec une droite donnée r passant par A [fig. 97).

Fig. 97-

La solution se déduit de celle du problème précédent, en portant le point B à l'infini dans la direction donnée. Il faudra joindre le point R, commun à AB' et à la droite menée par A' dans la direction donnée, avec le point Q commun à /•, A'C ; puis tirer par le point P commun à QR et B'C une droite parallèle à A'R, qui coupera r au point cherché C.

(') Brianchon, loc. cit., p. 38; — Poncelet, loc. cit., n» 209. (^) Newton, loc. cit., prop. XXII; — Maclaurin, De linearum geometricarum proprietatibus generalibus (Londres, 17/18), § [\\.

120 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

I. Si, au contraire, le point A est à l'infini, le problème devient le suivant :

Étant donnés quatre points B'CA'B et la direction d'une asymptote d'une hyperbole, trouver l'intersection de cette courbe avec une droite donnée r parallèle à l'asymptote [fig, 98).

Fig. 98.

Solution. — Joignons le point R, commun à A' B et à la droite menée par B' dans la direction donnée, au point Q commun à A'C et à la droite donnée ; puis tirons une droite par le point B et le point P commun à QR, B'C ; BP coupera la droite au point cherché G'. II. Si les points A', B sont à l'infini, nous avons le problème suivant : Étant donnés trois points A,B',C et les directions des asymptotes d'une hyperbole, trouver le second point commun à la courbe et à une droite donnée r passant par A [fig. 99).

Solution. — Par le point Q, commun à r et à la droite menée par G dans la direction de la première asymptote, on mène la parallèle à AB' : elle coupe B'C en P; par P on mène la parallèle à la seconde asymptote : lie coupera r au point cherché G'.

Il.'^Si les points A, B' sont à l'infini, le problème résolu par la construction précédente est celui-ci :