COROLLAIRES DES THÉORÈMES DE PASCAL ET BRL\NCHON

128. Ce corollaire sert à résoudre les deux problèmes suivants :

1° Étant donnés cinq points A, B', C, A', B d'une conique, construire la tangente en un des points donnés B [fig. io5).

Solution, — Joignons le point Q, commun à AB, CA' au point R commun à AB', A'B, et soit P l'intersection de B'G, QR. La tangente demandée seraBP(').

Cas particuliers. — Un des points AB'CA'est à l'infmi. Connaissant quatre points d'une hyperbole et la direction d'une asymptote, construire la tangente en un des points donnés.

B est à l'infini. Connaissant quatre points d'une hyperbole et la direction d'une asymptote, construire cette asymptote.

Deux des points AB',CA' sont à l'infini. Connaissant trois points d'une hyperbole et la direction des asymptotes, construire la tangente en un des points donnés.

B et un des autres points sont à l'infini. Connaissant trois points d'une hyperbole et la direction des asymptotes, construire une asymptote.

2° Étant donnés quatre points ABA'C d'une conique et la tangente en B, construire la conique par points ; par exemple, trouver le point de la courbe qui se trouve sur une droite donnée r passant par A [fig. io5).

Solution. — Soient R le point commun à r, A'B; Q le point où AB coupe GA'; et P le point commun à QR et à la tangente donnée. Le point cherché sera celui où CP coupe la droite donnée.

Si l'on suppose à l'infini un ou deux des points A A' C, ou le point A et la droite r, ou le point B, ou le point B et un des autres points, ou le point B et la tangente donnée, on a les cas particuliers suivants :

Construire par points l'hyperbole dont on connaît trois points, la tangente en un d'eux et la direction d'une asymptote; ou deux points, la tangente en un d'eux et la direction des asymptotes; ou trois points et une asymptote; ou deux points, une asymptote et la direction de l'autre.

Construire la parabole dont on donne trois points à distance finie et la direction des droites qui concourent au point à l'infini.

129. Revenons mainienanl à l'hexagone AB'CA'BC inscrit dans une conique, et supposons que, non-seulement C soit infiniment voisin de B, mais aussi que B' et C soient infiniment voisins, la figure nous donnera alors un quadrangle in-

') Maclacrin, loc. cit., § 4o.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

scrit AB'A'B avec les tangentes aux sommets B, B' {Jig. 106), et le théorème de Pascal devient celui-ci :

Fijj. 106.

Si un quadrangle est inscrit dans une conique^ le point commun aux tangentes en deux sommets opposés est en ligne droite avec les deux points de concours des couples de côtés opposés (').

C'est une propriété déjà remarquée ailleurs (n*' G7, à droite). En effet, considérons les faisceaux projectifs dont les rayons correspondants sont BA et B'A, BA' et B'A',. . . , la droite qui joint le point 0 commun à BA et B'A' au point B commun à B'A, BA' doit passer par l'intersection P des rayons qui correspondent à la droite qui joint les centres B, B'.

130. Le corollaire qui précède sert à résoudre les problèmes suivants :

1° Étant donnés quatre points AB'A'B d'une conique et la tangente BP en B, construire la tangente en B' [fig. 106).

Solution. — Soient Q le point commun à AB, A'B'; B le point commun à AB', A'B; et P le point commun à la tangente donnée et à QB. La tangente demandée seraB'P (').

(*) Maclaurin, toc. cit., § 36.

(*) Maclaurin, loc. cit., § 38.