COROLLAIRES DES THÉORÈMES DE PASCAL ET BRIANCHON

En supposant à Tinfini un des points donnés ou la droite donnée, on obtient la solution des problèmes particuliers qui suivent :

Construire la tangente en un point donné d'une hyperbole dont on connaît ou deux autres points, la tangente en un d'eux et la direction d'une asymptote ; ou un autre point avec sa tangente et les directions des asymptotes; ou deux autres points et une asymptote; ou un autre point, une asymptote et la direction de l'autre asymptote.

Construire l'asymptote donnée en direction d'une hyperbole dont on connaît, en outre, trois points et la tangente en un d'eux; ou deux points, la tangente en un d'eux et la direction de la seconde asymptote ; ou deux points et la seconde asymptote.

Construire la tangente en un point donné de la parabole dont on connaît deux autres points à distance finie et la direction sur laquelle est le point à l'infini.

2° Construire par points la conique dont on donne trois points ABB' et les tangentes BP, B'P ; par exemple, construire le point A' où la courbe est coupée par une droite quelconque r menée par B (/g-. 107).

Fig. 107.

Solution. — Joignons le point P commun aux tangentes données au point R où r coupe AB' ; soit Q l'intersection de AB, PR. La droite B'Q coupera r au point cherché A'.

Supposons à l'infini un des points ABB', ou une des droites BP, B'P, r, on aura les solutions des cas particuliers suivants :

Construire par points l'hyperbole dont on donne deux points avec leurs tangentes et la direction d'une asymptote ; ou un point avec sa tangente, une asymptote et la direction de l'autre asymptote; ou les deux asymptotes et un point.

Construire par points la parabole dont on donne deux points, la tangente en un d'eux et la direction des droites qui concourent au point de l'infini.

128 GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

131.. Les tangentes aux deux autres sommets A et A' du quadrangle ABA'B' [Jig. 107) se coupent aussi sur la droite qui joint le point (AB, A'B') au point (AB', A'B); donc :

Si un quadrangle est inscrit dans une conique^ les points où se coupent les côtés opposés et les points où se coupent les tangentes aux sommets opposés sont quatre points en ligne droite.

132. Écrivons maintenant C, D, E, G à la place de A', B', R, Q {fig. 108). Dans le quadrangle inscrit ABCD, le point commun aux tangentes en A et C, le point commun aux tangentes en B et D, le point commun aux côtés AD, BC et le point commun aux côtés AB, CD sont donc sur une même droite EG.

Les mêmes points A, B, C, D, pris dans un autre ordre, forment deux autres quadrangles inscrits ACDB, ACBD. Donc, si Ton applique le dernier théorème au quadrangle inscrit ACDB, on trouve que le point commun aux tangentes en A et D, le point commun aux tangentes en C et B, le point commun aux côtés AB, CD et le point commun aux côtés AC, BD sont tous sur une même droite FG. De même le quadrangle inscrit ACBD donne quatre points sur la même droite EF : les intersections des tangentes en A et B, des tangentes en G et D, des côtés AD, CB et des côtés AC, BD(').

Les trois droites EG, FG, EF, que l'on obtient ainsi, sont les côtés du triangle diagonal ( n° 30, tp) du quadrangle complet dont les sommets sont les quatre points donnés; et comme les mêmes droites renferment aussi les intersections des couples de tangentes en ces points, elles sont donc aussi les diagonales du quadrilatère complet formé par ces quatre tangentes; ou :

Le quadrilatère complet formé par quatre tangentes à une conique et le quadrangle complet formé par leurs quatre points de contact ont le même triangle diagonal.

(') Maclaurin, loc. cit., § 5o. — Carnot, toc. cit., p. 453-454.