COROLLAIRES DES THÉORÈMES DE PASCAL ET BRIANCHON. I

Dans la fig, io8, a, b, c, d sont les quatre tangentes, A, B, C, D les quatre points de contact, EFG est le triangle diagonal.

Fig. 108.

133. Dans le quadrilatère complet abcd, la diagonale dont les exirémités sont aux points ac, bd coupe les deux autres diagonales en E, G; ces quatre points sont donc harmoniques (48). La proposition corrélative est celle-ci : les deux côtés opposés du quadrangle complet inscrit ABCD qui concourent en F sont séparés harmoniquement par les droites qui vont aux deux autres points diagonaux E, G(n«49). On peut donc énoncer la proposition suivante [Jig. io8) :

Quand un quadrilatère {simple) inscrit (ABCD) a pour sommets consécutifs les points de contact consécutifs d'un quadrilatère {simple) circonscrit {abcd), l'aies diagonales des deux quadrilatères passent par un même point (F) et forment un groupe harmonique; 2° les points de concours des couples de côtés opposés des deux quadrilatères sont en ligne droite {^.(j) et séparés harmoniquement ; Z° les diagonales du quadrilatère circonscrit passent par les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit { ^ ).

C) Chasles, Sect. coniques, no 121.

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

134. En s'appuyant sur le théorème du n° 132, on peut, si l'on donne quatre tangentes abcd d'une conique [Jig. io8) et un de leurs points de contact, trouver immédiatement les trois autres; et, si l'on donne quatre points A, B, C, D et la tangente en un d'eux, construire les tangentes aux trois autres points (').

Solution. — Construisons le triangle diagonal EFG du quadrilatère complet abcd- AG, AF, AE rencontreront respectivement ^, c, <^ en B, C, D.

Construisons le triangle diagonal cfg du quadrangle complet ABCD ; les points ag, af, ae appartiendront respectivement aux tangentes demandées 6, c, d.

135. Si nous considérons les quatre droites ahcd comme formant un quadrilatère (non complet) circonscrit à la conique, nous pouvons donner au théorème du n° 132 l'énoncé suivant, qui est déjà compris dans celui du n° 133 (') :

Si un quadrilatère est circonscrit à une conique, les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés passent parle point commun aux diagonales [fig. 109).

Fig. 109.

Cette propriété se confond avec une autre propriété déjà démontrée à propos de deux ponctuelles projectives { n** 67, à gauche). En effet, considérons les deux ponctuelles projectives a etc, dans lesquelles ab et cb, ad et cd,... sont des points correspondants, la droite qui joint les points ab et cdet celle qui joint les points cb et ad se coupent sur la droite qui joint les points correspondant au point ac, c'est-à-dire sur la droite qui joint les points de contact de a et c.

C) Maclaurin, loc. cit., § 38 et 89.

(*) Newton, loc. cit., cor. II au lemme XXIV.

COROLLAIRES DES THÉORÈMES DE PASCAL ET BRIANCHON. l3l

Dans le cas où la conique est une hyperbole, si l'on considère le quadrilatère formé par les asymptotes et deux tangentes quelconques, la proposition ci-dessus exprime que les diagonales sont parallèles à la corde qui joint les points de contact des deux tangentes (*).

136. Le théorème qui précède sert à résoudre le problème : Construire par tangentes la conique dont on donne trois tangentes a^

b, c et deux points de contact A, C ; par exemple, mener une nouvelle tangente par un point H donné sur a [Jlg. 109).

Solution. — Joignons le point ab au point commun à AC et à H (^c) ; cette droite rencontrera c en un point qui, joint à H, donnera la tangente demandée d.

Si l'on suppose qu'un des peints A, G ou une des tangentes données soit à l'infini, on obtiendra les solutions des divers cas particuliers :

Construire par tangentes l'hyperbole dont on donne une asymptote, deux tangentes et un point de contact, ou les deux asymptotes et une tangente ; construire par tangentes la parabole dont on connaît le point à l'infini, deux tangentes et un point de contact, ou deux tangentes et leurs points de contact.

137. Si nous supposons que les points A et B', C et A', B et QJ soient infiniment voisins, dans le théorème de Pascal, nous aurons (fig. iio) un triangle inscrit ABC et les tangentes aux sommets ; donc :

Fig. iio.

Si un triangle est inscrit dans une conique, les tangentes aux sommets rencontrent les côtés respectivement opposés en trois points en ligne droite,

(') AlOLLOMUS, loc. cit., m, /|4.

l3a GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.