Ce théorème permet de résoudre le problème
Étant données trois tangentes d'une conique et deux points de contact, trouver le troisième.
Solution. — Soient DEF {fig. iio) le triangle circonscrit formé par les tangentes données, A et B les points de contact de EF, FD. Les droites AD et BE concourent en 0 ; FO coupera DE au point demandé C.
Cas particuliers. — On donne deux tangentes, une asymptote d'une hyperbole et le point de contact d'une des tangentes ; construire le point de contact de l'autre.
On donne deux asymptotes et une tangente d'une hyperbole ; construire son point de contact.
On donne deux tangentes d'une parabole avec leurs points de contact, construire la direction des droites qui concourent au point de l'infini.
COROLLAIRES DES THÉORÈxMES DE PASCAL ET BRIANCHON. l33
On donne deux tangentes à une parabole, le point de contact de l'une d'elles et le point à l'infini; construire le point de contact de l'autre tangente.
141. Nous avons déduit du théorème de Pascal des théorèmes spéciaux concernant le pentagone, le quadrangle et le triangle inscrits ; on peut déduire de la même manière du théorème de Brianchon les propositions corrélatives concernant le pentagone, le quadrilatère et le triangle circonscrits.
En effet, si l'on suppose que, des six tangentes a, b\ c, a', b,c' formant l'hexagone circonscrit (n" 117, à gauche), deux, b et c' , par exemple, deviennent infiniment voisines, comme une tangente rencontre la tangente infiniment voisine en son point de contact (n°« 110, 113), l'hexagone se changera en la figure composée du pentagone circonscrit ab'ca'b et du point de contact du côté b [fig. 1 1 1 ). Le théorème de Brian- CHON donne alors celui-ci :
Fig. III.
Si un pentagone est circonscrit à une conique, deux diagonales joignant deux couples de sommets différents et la droite qui joint le cinquième sommet au point de contact du côté opposé concourent en un même point.
Ce théorème se confond avec une propriété des ponctuelles projectives déjà signalée (n'' 66, à droite). Supposons, en effet, que l'on ait sur les droites a, h les ponctuelles projectives déterminées par les sécantes «', h\ c ; si la première ponctuelle est projetée du point ca\ et la seconde du point cb\ on a deux faisceaux perspectifs dont la section commune est la droite /-qui joint les points ah, ba' . Donc, si l'on demande le point de la seconde ponctuelle qui correspond au point ah de la première, c'est-à- •dire le point de contact de la tangente b, il suffira de tirer la droite q qui projette nb de ca', puis la droite p par les points cb\ qr\ le point pb sera le point demandé.
l34 GÉOMÉTRIE PROJECTIYE.
La propriété du pentagone circonscrit que nous venons d'établir donne le moyen de résoudre les problèmes suivants :
1° Étant données cinq tangentes d'une conique, trouver le point de contact de l'une d'elles (' ).
Cas particulier. — Étant données quatre tangentes d'une parabole, trouver leurs points de contact et le point à l'intîni.
2° Construire par tangentes la conique dont on donne quatre tangentes et un point de contact.
Cas particuliers. — Construire par tangentes une hyperbole dont on donne trois tangentes et une asymptote.
Construire par tangentes une parabole dont on donne trois tangentes et le point à l'infini, ou trois tangentes et un point de contact.
Les corollaires du théorème deBRiANCHON relatifs au quadrilatère et au triangle inscrits ne sont autres que les théorèmes des n"' 135 et 139; ils sont corrélatifs aux théorèmes des n°' 129 et 137, comme les théorèmes des n°' 127 et 141 sont corrélatifs entre eux.
Ce sera un exercice très- utile à l'élève que de résoudre tout seul les problèmes énoncés dans la présente section (§ XVI) ; les constructions se ramènent toutes à deux, corrélatives entre elles et données immédiatement par les théorèmes de Pascal et Brianchon.
142. Les corollaires des théorèmes de Pascal et Brianchon montrent que, de même qu'une conique est déterminée par cinq points ou cinq tangentes, de même elle est déterminée par quatre points et la tangente en un d'eux; par quatre tangentes et un point de contact, par trois points et les tangentes en deux d'entre eux, par trois tangentes et deux points de contact. D'où il résulte que :
1° Une infinité de coniques peuvent passer par trois points et être tangentes à une droite donnée en un de ses points, ou passer par deux points donnés et y toucher deux droites données ; mais deux quelconques de ces coniques ne peuvent avoir un autre point commun ;
2° Une infinité de coniques peuvent toucher une droite donnée en un point donné et deux autres droites données, ou deux droites données en des points donnés ; deux quelconques de ces coniques n'ont aucune autre tangente commune.
Donc, si deux coniques sont tangentes à une droite donnée en un même point (c'est-à-dire si les coniques sont tangentes entre elles en ce point), elles ne peuvent avoir, en outre, plus de deux tangentes ou plus de deux points communs ; si deux coniques sont tangentes à deux droites données
(') Maclaurin, loc. cit., §4i.
THÉORÈME DE DESARGUES.
en des points donnés ( c'est-à-dire si deux coniques sont tangentes entre elles en deux points) , elles ne peuvent avoir en commun ni d'autres points ni d'autres tangentes.
On peut dire aussi que, si deux coniques sont tangentes à une droite a en un point A, celui-ci équivaut à deux points d'intersection, et la droite a équivaut à deux tangentes communes.
§ XVII. — Théorème de Desargues.
143. Un quadrangle QRST est inscrit dans une conique {fig. 112), une transversale arbitraire s coupe les côtés QT,RS, QR, TS aux points A, A', B, B' et la conique aux points P,P'.
Un quadrilatère qrst [fig. ii3) est circonscrit à -une conique, d'un point arbitraire S on mène les droites «, «', è, h' aux sommets <//, rs^ qr, ts du quadrilatère, et les tangentes/?, /?' à la conique.
Fig. 112.
Fig. ii3.
Les deux groupes de rayons qui, de Q et de S, projettent les points P, R, P', T de la conique sont projectifs (n^* 113) : donc les deux groupes de points PBP'A, PA'P'B' où ces rayons sont coupés par la transversale s sont aussi projectifs.
Donc(n° 56) les groupes PBP'A,
Les deux groupes de points où 7 et s coupent les tangentes /?, r, /?', t de la conique sont projectifs (n° 113) : donc les deux groupes de rayons php' a^ pa'p'b' qui projettent ces points de S sont aussi projectifs. Donc (n° S6 ) les groupes /?è/?'rt,/?'^'/?«' sont projectifs, c'est-
l36 GÉOMÉTRIE
P'B'PA' sont projectifs, c'est-à-dire que(n<' 94)
